Bank Soal Matematika SMA Mencari Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $y=\sec(2x-9)$

Ditanya:

Turunan ketiga dari $y$ ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=a\sec (u(x))$ turunannya adalah $y'=a.u'(x)\sec (u(x))\tan (u(x))$

Untuk fungsi $y=\tan (ax+b)$ turunannya adalah $y'=a\sec^2\left(ax+b\right)$

Untuk fungsi $y=a\sec^n\left(f\left(x\right)\right)$ turunannya adalah $y'=a.n\sec^{n-1}\left(f\left(x\right)\right)\sec\left(f\left(x\right)\right)\tan\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)$

Untuk fungsi $y=a\tan^n\left(f\left(x\right)\right)$ turunannya adalah $y'=a.n\tan^{n-1}\left(f\left(x\right)\right)\sec^2\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)$

Untuk fungsi $y=u.v$ turunannya adalah $y'=u'v+uv'$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Diperoleh turunan pertama fungsi $y$ adalah

$y'=2\sec(2x-9)\tan(2x-9)$

Selanjutnya, untuk mencari turunan keduanya, maka turunan pertamanya diturunkan lagi.

Dimisalkan $u=2\sec\left(2x-9\right)$ dan $v=\tan\left(2x-9\right)$.

Diperoleh $u'=4\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)$ dan $v'=2\sec^2\left(2x-9\right)$

Dengan demikian

$y''=u'v+uv'$

$y''=4\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)+2\sec\left(2x-9\right)2\sec^2\left(2x-9\right)$

$y''=4\sec\left(2x-9\right)\tan^2\left(2x-9\right)+4\sec^3\left(2x-9\right)$

Turunan ketiganya diperoleh dari turunan kedua yang diturunkan lagi. Turunan kedua berbentuk $y''=st+w$ dengan $s=4\sec\left(2x-9\right)$, $t=\tan^2\left(2x-9\right)$, dan $w=4\sec^3\left(2x-9\right)$.

Didapat

$s'=2.4\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)=8\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)$

$t'=2.2\tan\left(2x-9\right)\sec^2\left(2x-9\right)=4\tan\left(2x-9\right)\sec^2\left(2x-9\right)$

$w'=2.3.4\sec^2\left(2x-9\right)\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)=24\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)$

Dengan demikian turunan ketiganya yaitu

$y^{\left(3\right)}=s't+st'+w'$

$y^{\left(3\right)}=8\sec\left(2x-9\right)\tan^3\left(2x-9\right)+4\sec\left(2x-9\right)4\tan\left(2x-9\right)\sec^2\left(2x-9\right)+24\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)$

$y^{\left(3\right)}=8\sec\left(2x-9\right)\tan^3\left(2x-9\right)+16\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)+24\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)$

$y^{\left(3\right)}=8\sec\left(2x-9\right)\tan^3\left(2x-9\right)+40\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)$