Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Diketahui:

Vektor posisi titik $P,\ Q,$ dan $R$ terhadap titik asal $O$ berturut-turut adalah $\vec{p}=-3\vec{i}-8\vec{j}-3\vec{k},\ \vec{q}=\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k},$ dan $\vec{r}=3\vec{i}+\vec{j}$.

Ditanya:

Hasil dari $\frac{\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{PQ}}$ ?

Jawab:

Secara umum, titik $A,\ B,$ dan $C$ dikatakan segaris jika dan hanya jika setiap vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan. Dan jika diketahui vektor posisi $\overrightarrow{OA}$ dan $\overrightarrow{OB}$, maka vektor $\overrightarrow{AB}$ dapat dicari menggunakan rumus $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

Berdasarkan yang diketahui, diperoleh

$\overrightarrow{QR}=\vec{r}-\vec{q}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{QR}=\left(3\vec{i}+\vec{j}\right)-\left(\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{QR}=3\vec{i}+\vec{j}-\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{QR}=3\vec{i}-\vec{i}+\vec{j}+2\vec{j}+\vec{k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{QR}=2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$

$\overrightarrow{PQ}=\vec{q}-\vec{p}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\left(\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}\right)-\left(-3\vec{i}-8\vec{j}-3\vec{k}\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}+3\vec{i}+8\vec{j}+3\vec{k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\vec{i}+3\vec{i}-2\vec{j}+8\vec{j}-\vec{k}+3\vec{k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}$

dan

$\overrightarrow{PR}=\vec{r}-\vec{p}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=\left(3\vec{i}+\vec{j}\right)-\left(-3\vec{i}-8\vec{j}-3\vec{k}\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=3\vec{i}+\vec{j}+3\vec{i}+8\vec{j}+3\vec{k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=3\vec{i}+3\vec{i}+\vec{j}+8\vec{j}+3\vec{k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PR}=6\vec{i}+9\vec{j}+3\vec{k}$

Dengan demikian

$\frac{\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{PQ}}=\frac{2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}+6\vec{i}+9\vec{j}+3\vec{k}}{4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}}$

$\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{PQ}}=\frac{2\vec{i}+6\vec{i}+3\vec{j}+9\vec{j}+\vec{k}+3\vec{k}}{4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}}$

$\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{PQ}}=\frac{8\vec{i}+12\vec{j}+4\vec{k}}{4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}}$

$\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{PQ}}=\frac{2\left(4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}\right)}{4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k}}$

$\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{PQ}}=2$