Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-2x+1}>1$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{x^2-2x+1}>1$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=x^2-2x+1$ dan $g\left(x\right)=1$

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

$f(x)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0$ . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari harga nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-2x+1=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-2$ dan $pq=1$ adalah $p=-1$ dan $q=-1$ . Didapat

$x^2-2x+1=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0$ . . . (3)

Jika persamaan (3) disubstitusikan pada pertidaksamaan (2) diperoleh

$\left(x-1\right)^2\ge0$

Karena untuk semua bilangan real $x$ berakibat $\left(x-1\right)^2\ge0$, maka syarat akarnya yaitu $x\in$ R (*).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{x^2-2x+1}\right)^2>1^2$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1>1$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1-1>0$

$\Leftrightarrow x^2-2x>0$ . . . (4)

Pertidaksamaan (4) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikannya perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

Akan dicari harga nol pertidaksamaan (4), diperoleh

$x^2-2x=0$

Berdasarkan sifat distributif, diperoleh

$x\left(x-2\right)=0$

Artinya,

$x=0$ atau

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$

Karena pembuat nol pertidaksamaan (4) adalah $0$ dan $2$ dengan $0<2$ dan tanda pertidaksamaannya adalah lebih dari ($>$), maka penyelesaian pertidaksamaan (4) adalah $x<0$ atau $x>2$ (**).

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*) dan (**). Karena kondisi (*) menyatakan semua bilangan real $x$, maka solusi pertidaksamaan (1) cukup melihat pada kondisi (**). Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { $x\in$ R $\mid x<0$ atau $x>2$ }