Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree)$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Banyak nilai minimum fungsi $f\left(x\right)$ ?

Jawab:

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin (ax\pm b)$ turunannya adalah $y'=a\cos (ax\pm b)$

Untuk fungsi $y=\cos (ax\pm b)$ turunannya adalah $y'=-a\sin (ax\pm b)$

Pada soal diketahui fungsi $f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree)$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$.

Diperoleh

$f'\left(x\right)=-2.3\sin (2x-60\degree)=-6\sin (2x-60\degree)$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$f''\left(x\right)=-2.6\cos (2x-60\degree)=-12\cos (2x-60\degree)$

Syarat pertama untuk mencari nilai minimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$f'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow-6\sin (2x-60\degree)=0$

$\Leftrightarrow\sin (2x-60\degree)=0$

$\Leftrightarrow\sin (2x-60\degree)=\sin0\degree$

sebab $\sin0\degree=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree$ sehingga untuk $\sin (2x-60\degree)=\sin0\degree$ didapat

$2x-60\degree=0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow2x=60\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=30\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=30\degree+0.180\degree\Leftrightarrow x=30\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=30\degree+1.180\degree\Leftrightarrow x=210\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=30\degree+2.180\degree\Leftrightarrow x=390\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$2x-60\degree=180\degree-0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow2x-60\degree=180\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow2x=240\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=120\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=120\degree+0.180\degree=120\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=120\degree+1.180\degree=300\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=120\degree+2.180\degree=480\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\left\{30\degree, 120\degree, 210\degree, 300\degree\right\}$

Perlu diingat bahwa nilai dari $\sin\left(2k\pi+\theta\right)=\sin\theta$

Selanjutnya, diperhatikan nilai turunan kedua untuk setiap $x$ yang diperoleh

$f''\left(30\degree\right)=-12\cos (2.30\degree-60\degree)=-12\cos (0\degree)=-12.1<0$ (maksimum)

$f''\left(120\degree\right)=-12\cos (2.120\degree-60\degree)=-12\cos (180\degree)=-12.(-1)>0$ (minimum)

$f''\left(210\degree\right)=-12\cos (2.210\degree-60\degree)=-12\cos (360\degree)=-12.1<0$ (maksimum)

$f''\left(300\degree\right)=-12\cos (2.300\degree-60\degree)=-12\cos (180\degree)=-12.(-1)>0$ (minimum)

Yang diminta soal adalah banyaknya nilai mininum fungsi $f\left(x\right)$. Tanpa dihitung nilainya sudah dapat disimpulkan bahwa banyaknya nilai maksimum fungsi $f(x)$ ada 2.