Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Segitiga yang diilustrasikan seperti pada gambar berikut

Ditanya:

Nilai $x$ agar keliling $\triangle ABC$ maksimum ?

Jawab:

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Untuk segitiga yang diketahui pada soal, diperoleh

$\sin x=\frac{AC}{BC}\Leftrightarrow AC=BC\sin x=21\sin x$

$\cos x=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow AB=BC\cos x=21\cos x$

Keliling $\triangle ABC$ adalah

$K_\triangle=AB+BC+AC=21\cos x+21+21\sin x$

Mencari keliling maksimum dapat dilakukan dengan mencari nilai maksimum dari fungsi kelilingnya.

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Diperoleh

$K_\triangle'=-21\sin x+0+21\cos x$

$\Leftrightarrow K_\triangle'=-21\sin x+21\cos x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$K_\triangle''=-21\cos x-21\sin x$

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$K_\triangle'=0$

$\Leftrightarrow-21\sin x+21\cos x=0$

$\Leftrightarrow21\cos x=21\sin x$

$\Leftrightarrow\frac{21}{21}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow1=\tan x$

$\Leftrightarrow\tan45\degree=\tan x$

sebab $\tan 45\degree=1$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\tan\left(ax+b\right)=\tan\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.180\degree$ sehingga untuk $\tan45\degree=\tan x$ didapat

$x=45\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=45\degree+0.180\degree=45\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le90\degree$

untuk $k=1$ maka $x=45\degree+1.180\degree=225\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le90\degree$

Diperoleh

$K_\triangle''=-21\cos 45\degree-21\sin 45\degree$

$K_\triangle''=-21.\frac{1}{2}\sqrt{2}-21.\frac{1}{2}\sqrt{2}<0$ (maksimum)

Nilai $x$ agar keliling $\triangle ABC$ maksimum adalah $45\degree$