Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\cos\theta+\sin\theta=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Ditanya:

Salah satu nilai dari $\theta$ ?

Dijawab:

$\leftrightarrow\ \cos\theta+\sin\theta=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\leftrightarrow\ \cos\theta=\frac{1+\sqrt{3}}{2}-\sin\theta$

$\leftrightarrow\ \left(\cos\theta\right)^2=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}-\sin\theta\right)^2$

$\leftrightarrow\ \left(\cos\theta\right)^2=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^2-2\left(\ \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\sin\theta+\left(\sin\theta\right)^2$ (kuadratkan kedua ruas)

$\leftrightarrow\ \cos^2\theta=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}-\left(1+\sqrt{3}\right)\sin\theta+\sin^2\theta$

$\leftrightarrow\ \cos^2\theta=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}-\sin\theta-\sqrt{3}\sin\theta+\sin^2\theta$

$\leftrightarrow\ \cos^2\theta-\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)}{2}+\sin\theta+\sqrt{3}\sin\theta-\sin^2\theta=0$ (pindah ruas ke kiri semua)

$\leftrightarrow2\cos^2\theta-2-\sqrt{3}+2\sin\theta+2\sqrt{3}\sin\theta-2\sin^2\theta=0$ (dikalikan 2 untuk menghilangkan penyebut)

$\leftrightarrow2\left(1-\sin^2\theta\right)-2-\sqrt{3}+2\sin\theta+2\sqrt{3}\sin\theta-2\sin^2\theta=0$ (pergunakan identitas trigonometri)

$\leftrightarrow2-2\sin^2\theta-2-\sqrt{3}+2\sin\theta+2\sqrt{3}\sin\theta-2\sin^2\theta=0$

$\leftrightarrow-4\sin^2\theta+2\sin\theta+2\sqrt{3}\sin\theta-\sqrt{3}=0$

$\leftrightarrow\ -4\sin^2\theta+2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin\theta-\sqrt{3}=0$

$\leftrightarrow\ \left(-2\sin\theta+1\right)\left(2\sin\theta-\sqrt{3}\right)=0$

Kemudian langkah berikutnya adalah pemfaktoran dan didapat faktor dari $\sin\theta$ adalah:

Himpunan penyelesaian pertama

$\left(-2\sin\theta+1\right)=0$

$\leftrightarrow\ -2\sin\theta=-1$

$\leftrightarrow\ \sin\theta=\frac{-1}{-2}$

$\leftrightarrow\ \sin\theta=\frac{1}{2}$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$ . Maka kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

• $\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi$
• $\theta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$

Himpunan penyelesaian kedua

$\left(2\sin\theta-\sqrt{3}\right)=0$

$\leftrightarrow\ 2\sin\theta=\sqrt{3}$

$\leftrightarrow\ \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$ . Maka kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

• $\theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi$
• $\theta=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

Sehingga berdasarkan data di atas, dapat didefinisikan nilai dari $\theta$ adalah:

$\theta_{ }=\frac{\pi}{6}+2k\pi$, $\theta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, $\theta_{ }=\frac{\pi}{3}+2k\pi$, dan $\theta=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$.