Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}\le2$

Ditanya:

Himpunan semua solusi dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Untuk mencari penyelesaian pertidaksamaan, langkah pertamanya yaitu memastikan ruas kanan pertidaksamaan tersebut adalah nol. Ruas kanan pertidaksamaan yang diberikan pada soal bukan nol, maka diubah menjadi

$\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}\le2$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}-2\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}-\frac{2\left(x-5\right)}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10}{x-5}-\frac{2x-10}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10-\left(2x-10\right)}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-10-2x+10}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2+2x-2x-10+10}{x-5}\le0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}\le0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^3-2x^2=0$ berdasarkan sifat distributif didapat

$\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)=0$

Artinya

$x^2=0\Leftrightarrow x=0$ atau

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$

Untuk penyebut diperoleh

$x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Karena nilai $x=5$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=5$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol pertidaksamaan (*) diperoleh beberapa nilai pembuat nol dengan urutan berikut

$0<2<5$

dan pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}\le0$

Tanda pertidaksamaan (*) adalah $\le$ artinya penyelesaiannya adalah semua nilai $x$ yang menyebabkan ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negarif dan $x=0,\ x=2$ merupakan penyelesaian (sebab memuat sama dengan). Diperhatikan beberapa kemungkinan berikut

Kemungkinan pertama, untuk $x\le0$, maka $x-2$ selalu negatif dan $x-5$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan kedua, untuk $0\le x\le2$, maka $x-2$ selalu negatif dan $x-5$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan ketiga, untuk $2\le x<5$ , maka $x-2$ selalu positif dan $x-5$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan keempat, untuk $x>5$, maka $x-2$ selalu positif dan $x-5$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{x^2\left(x-2\right)}{x-5}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)^2\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2}{x-5}=\left(\text{positif}\right)$

Diperoleh ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negatif ketika $2\le x<5$. Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah

{ $x\in$ R $\mid2\le x<5$ }