Bank Soal Matematika SMA Aturan Cosinus

Diketahui:

titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan $AB=2\sqrt{5}$ cm, $BC=5\sqrt{2}$ cm, $CD=6$ cm dan $AD=3\sqrt{10}$ cm

Ditanya:

Panjang diagonal $BD=?$

Jawab:

Ingat aturan cosinus pada segitiga $ABC$, berlaku

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Perhatikan gambar berikut!

ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan 180^o

$A+C=180^o$

$C=180^o-A$

$\cos C=\cos\left(180^o-A\right)$

$\cos C=\cos180^o\cos A+\sin180^o\sin A$

$\cos C=\left(-1\right)\cos A+0\cdot\sin A$

$\cos C=-\cos A$

Perhatikan segitiga $ABD$

$BD^2=\left(3\sqrt{10}\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\cdot3\sqrt{10}\cdot2\sqrt{5}\cos A$

$BD^2=3^2\cdot\left(\sqrt{10}\right)^2+2^2\left(\sqrt{5}\right)^2-12\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}\cos A$

$BD^2=9\cdot10+4\cdot5-12\cdot\sqrt{50}\cos A$

$BD^2=90+20-12\cdot\sqrt{25\cdot2}\cos A$

$BD^2=110-12\cdot5\sqrt{2}\cos A$

$BD^2=110-60\sqrt{2}\cos A$ ...(1)

Perhatikan segitiga BCD

$BD^2=6^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot6\cdot5\sqrt{2}\cos C$

$BD^2=36+5^2\left(\sqrt{2}\right)^2-60\sqrt{2}\cos C$

$BD^2=36+25\cdot2-60\sqrt{2}\cos C$

$BD^2=36+50-60\sqrt{2}\cos C$

$BD^2=86-60\sqrt{2}\left(-\cos A\right)$

$BD^2=86+60\sqrt{2}\cos A$ ...(2)

Dari persamaan (1) dan (2)

$86+60\sqrt{2}\cos A=110-60\sqrt{2}\cos A$

$60\sqrt{2}\cos A+60\sqrt{2}\cos A=110-86$

$120\sqrt{2\ }\cos A=24$

$\cos A=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Dari persamaan (1)

$BD^2=110-60\sqrt{2}\cos A$

$BD^2=110-60\sqrt{2}\cdot\frac{1}{5\sqrt{2}}$

$BD^2=98$

$BD=\sqrt{98}$

$BD=\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}$

$BD=7\sqrt{2}$

Jadi, panjang BD adalah $7\sqrt{2}$ cm.