Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Diketahui:

Laki-laki $=3$ orang

Perempuan $=4$ orang

Total personal $=7$

Banyak orang yang dipilih secara acak $=2$

$X$ menyatakan banyaknya perempuan dalam tim tersebut

Ditanya:

Nilai harapan dari $X=?$

Dijawab:

Distribusi peluang bagi $X$ adalah sebagai berikut:

$f\left(x\right)=\frac{\left(_x^4\right)\left(_{2-x}^{\ \ \ 3}\right)}{\left(_2^7\right)}$; untuk $x=0,1,2$

dengan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ \cdot\ x!}$

Untuk $X=0$ didapatkan:

$f\left(0\right)=\frac{\left(_0^4\right)\left(_2^3\right)}{\left(_2^7\right)}$

$=\frac{\frac{4!}{\left(4-0\right)!\ \cdot\ 0!}\cdot\frac{3!}{\left(3-2\right)!\ \cdot\ 2!}}{\frac{7!}{\left(7-2\right)!\ \cdot\ 2!}\ }$

$=\frac{\frac{4!}{4!\ \cdot\ 0!}\cdot\frac{3!}{1!\ \cdot\ 2!}}{\frac{7!}{5!\ \cdot\ 2!}\ }$; ingat bahwa $0!=1$

$=\frac{1\ \cdot\ 3}{21\ }$

$=\frac{1}{7}$

Untuk $X=1$ didapatkan:

$f\left(1\right)=\frac{\left(_1^4\right)\left(_1^3\right)}{\left(_2^7\right)}$

$=\frac{\frac{4!}{\left(4-1\right)!\ \cdot\ 1!}\cdot\frac{3!}{\left(3-1\right)!\ \cdot\ 1!}}{\frac{7!}{\left(7-2\right)!\ \cdot\ 2!}\ }$

$=\frac{\frac{4!}{3!\ \cdot\ 1!}\cdot\frac{3!}{2!\ \cdot\ 1!}}{\frac{7!}{5!\ \cdot\ 2!}\ }$

$=\frac{4\ \cdot\ 3}{21\ }$

$=\frac{4}{7}$

Untuk $X=2$ didapatkan:

$f\left(2\right)=\frac{\left(_2^4\right)\left(_0^3\right)}{\left(_2^7\right)}$

$=\frac{\frac{4!}{\left(4-2\right)!\ \cdot\ 2!}\cdot\frac{3!}{\left(3-0\right)!\ \cdot\ 0!}}{\frac{7!}{\left(7-2\right)!\ \cdot\ 2!}\ }$

$=\frac{\frac{4!}{2!\ \cdot\ 2!}\cdot\frac{3!}{3!\ \cdot\ 0!}}{\frac{7!}{5!\ \cdot\ 2!}\ }$; ingat bahwa $0!=1$

$=\frac{6\ \cdot\ 1}{21\ }$

$=\frac{2}{7}$

Jika disajikan di dalam tabel didapatkan:

Nilai harapan atau rata-rata variabel acak ditentukan oleh

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^nx_i\ .\ f\left(x_i\right)$

Dengan demikian nilai harapan dari $X$ didapatkan:

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^3x_i\ .\ f\left(x_i\right)$

$=0\left(\frac{1}{7}\right)+1\left(\frac{4}{7}\right)+2\left(\frac{2}{7}\right)$

$=0+\frac{4}{7}+\frac{4}{7}$

$=\frac{8}{7}$

Jadi, nilai harapan dari $X$ adalah $\frac{8}{7}$.