Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Diketahui:

Buah jambu $=3$ buah

Buah anggur $=2$ buah

Buah pir $=3$ buah

Banyak buah yang diambil $=4$ buah

$X$ adalah banyaknya buah jambu yang terambil

$Y$ adalah banyaknya buah anggur yang terambil

Ditanya:

$P\left(\left(x,y\right)\in A\right)$ untuk $A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\}=?$

Dijawab:

Soal di atas merupakan kasus yang dapat diselesaikan dengan konsep distribusi probabilitas bersama.

Misalkan $X$ dan $Y$ dua peubah acak diskrit dengan nilai-nilai $X$ meliputi $x_1,x_2,...,x_k$ dan nilai-nilai $Y$ meliputi $y_1,y_2,...,y_k$ maka setiap pasangan terurut $\left(x_k,y_k\right)$ yang merupakan probabilitas bahwa $X$ mempunyai nilai $x_k$ dan $Y$ mempunyai nilai $y_k$ dengan $P\left(x,y\right)$ merupakan sebuah fungsi probabilitas bersama dari peubah acak $X$ dan $Y$ dinyatakan oleh:

$P\left(x,y\right)=P\left(\left(X=x\right)\cap\left(Y=y\right)\right)$

Berikut langkah-langkah mengerjakan soal tersebut.

Membuat daftar semua kemungkinan yang memenuhi

Diketahui $X$ adalah banyaknya buah jambu yang terambil dan $Y$ adalah banyaknya buah anggur yang terambil, maka semua kemungkinan $\left(x,y\right)$ pada pengambilan $4$ buah adalah:

$\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,0\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(3,0\right),\left(3,1\right)$

Untuk kemungkinan $\left(0,0\right)$ tidak memenuhi dikarenakan ketika $X=0$ yang artinya jumlah jambu yang terambil $0$ dan $Y=0$ yang artinya jumlah anggur yang terambil $0$ maka kemungkinan yang terambil adalah 4 buah buah pir. Tetapi buah pir yang tersedia hanya 3 buah sehingga tidak memenuhi pengambilan 4 buah.

Membuat formulasi fungsi yang sesuai

Analisa semua kemungkinan yang ada untuk membentuk formulasi fungsi yang sesuai.

Perhatikan $P\left(0,1\right)$ yang artinya peluang terambilnya $0$ buah jambu dan $1$ buah anggur. Karena jumlah pengambilan ada 4 buah berarti sisanya adalah terambilnya 3 buah pir . Banyak kombinasi mengambil $0$ dari $3$ buah jambu, $1$ dari $2$ buah anggur, dan $3$ dari $3$ buah pir adalah $\left(_0^3\right)\left(_1^2\right)\left(_3^3\right)$.

Banyak kombinasi mengambil $4$ dari $8$ buah yang tersedia adalah $\left(_4^8\right)$.

Ingat bahwa $\left(_r^n\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

dengan $\ n\ge r$.

$n=$ unsur yang tersedia

$r=$ unsur yang diambil

Sehingga $P\left(0,1\right)=\frac{\left(_0^3\right)\left(_1^2\right)\left(_3^3\right)}{\left(_4^8\right)}=\frac{1}{35}$

Diperoleh formulasi fungsi yang sesuai yaitu:

$P\left(x,y\right)=\frac{\left(_x^3\right)\left(_y^2\right)\left(_{3-x-y}^3\right)}{\left(_4^8\right)}$ untuk $X=0,1,2,3$ dan $Y=0,1,2$

Membuat tabel distribusi probabilitas bersama

Dari formulasi fungsi yang telah didapatkan maka selanjutnya hitung nilai probabilitas bersama dan buat tabel distribusinya.

Mencari $P\left(\left(x,y\right)\in A\right)$ untuk $A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\}$

Kemungkinan $\left(x,y\right)$ yang memenuhi $x+y\le2$ adalah:

$A=\left\{\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)\right\}$

Sehingga:

$P\left(\left(x,y\right)\in A\right)=P\left(0,1\right)+P\left(0,2\right)+P\left(1,0\right)+\left(1,1\right)+P\left(2,0\right)$

$=\frac{1}{35}+\frac{3}{70}+\frac{3}{70}+\frac{9}{35}+\frac{9}{70}$

$=\frac{2+3+3+18+9}{70}$

$=\frac{35}{70}$

$=\frac{1}{2}$

Jadi, $P\left(\left(x,y\right)\in A\right)$ untuk $A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\}$ adalah $\frac{1}{2}$.