Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Soal

Pilgan

Empat buah diambil secara acak dari dalam keranjang yang terdapat 3 buah jambu, 2 buah anggur, dan 3 buah pir. Jika XX adalah banyaknya buah jambu yang terambil dan YY adalah banyaknya buah anggur yang terambil, maka P((x,y)A)P\left(\left(x,y\right)\in A\right) untuk A={(x,y)x+y2}A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\} adalah ....

A

935\frac{9}{35}

B

37\frac{3}{7}

C

12\frac{1}{2}

D

1935\frac{19}{35}

E

2235\frac{22}{35}

Pembahasan:

Diketahui:

Buah jambu =3=3 buah

Buah anggur =2=2 buah

Buah pir =3=3 buah

Banyak buah yang diambil =4=4 buah

XX adalah banyaknya buah jambu yang terambil

YY adalah banyaknya buah anggur yang terambil

Ditanya:

P((x,y)A)P\left(\left(x,y\right)\in A\right) untuk A={(x,y)x+y2}=?A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\}=?

Dijawab:

Soal di atas merupakan kasus yang dapat diselesaikan dengan konsep distribusi probabilitas bersama.

Misalkan XX dan YY dua peubah acak diskrit dengan nilai-nilai XX meliputi x1,x2,...,xkx_1,x_2,...,x_k dan nilai-nilai YY meliputi y1,y2,...,yky_1,y_2,...,y_k maka setiap pasangan terurut (xk,yk)\left(x_k,y_k\right) yang merupakan probabilitas bahwa XX mempunyai nilai xkx_k dan YY mempunyai nilai yky_k dengan P(x,y)P\left(x,y\right) merupakan sebuah fungsi probabilitas bersama dari peubah acak XX dan YY dinyatakan oleh:

P(x,y)=P((X=x)(Y=y))P\left(x,y\right)=P\left(\left(X=x\right)\cap\left(Y=y\right)\right)

Berikut langkah-langkah mengerjakan soal tersebut.

Membuat daftar semua kemungkinan yang memenuhi

Diketahui XX adalah banyaknya buah jambu yang terambil dan YY adalah banyaknya buah anggur yang terambil, maka semua kemungkinan (x,y)\left(x,y\right) pada pengambilan 44 buah adalah:

(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,0\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(3,0\right),\left(3,1\right)

Untuk kemungkinan (0,0)\left(0,0\right) tidak memenuhi dikarenakan ketika X=0X=0 yang artinya jumlah jambu yang terambil 00 dan Y=0Y=0 yang artinya jumlah anggur yang terambil 00 maka kemungkinan yang terambil adalah 4 buah buah pir. Tetapi buah pir yang tersedia hanya 3 buah sehingga tidak memenuhi pengambilan 4 buah.

Membuat formulasi fungsi yang sesuai

Analisa semua kemungkinan yang ada untuk membentuk formulasi fungsi yang sesuai.

Perhatikan P(0,1)P\left(0,1\right) yang artinya peluang terambilnya 00 buah jambu dan 11 buah anggur. Karena jumlah pengambilan ada 4 buah berarti sisanya adalah terambilnya 3 buah pir . Banyak kombinasi mengambil 00 dari 33 buah jambu, 11 dari 22 buah anggur, dan 33 dari 33 buah pir adalah (03)(12)(33)\left(_0^3\right)\left(_1^2\right)\left(_3^3\right).

Banyak kombinasi mengambil 44 dari 88 buah yang tersedia adalah (48)\left(_4^8\right).


Ingat bahwa (rn)=n!(nr)!  r!\left(_r^n\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}

dengan  nr\ n\ge r.

n=n= unsur yang tersedia

r=r= unsur yang diambil


Sehingga P(0,1)=(03)(12)(33)(48)=135P\left(0,1\right)=\frac{\left(_0^3\right)\left(_1^2\right)\left(_3^3\right)}{\left(_4^8\right)}=\frac{1}{35}

Diperoleh formulasi fungsi yang sesuai yaitu:

P(x,y)=(x3)(y2)(3xy3)(48)P\left(x,y\right)=\frac{\left(_x^3\right)\left(_y^2\right)\left(_{3-x-y}^3\right)}{\left(_4^8\right)} untuk X=0,1,2,3X=0,1,2,3 dan Y=0,1,2Y=0,1,2

Membuat tabel distribusi probabilitas bersama

Dari formulasi fungsi yang telah didapatkan maka selanjutnya hitung nilai probabilitas bersama dan buat tabel distribusinya.

Mencari P((x,y)A)P\left(\left(x,y\right)\in A\right) untuk A={(x,y)x+y2}A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\}

Kemungkinan (x,y)\left(x,y\right) yang memenuhi x+y2x+y\le2 adalah:

A={(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A=\left\{\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)\right\}

Sehingga:

P((x,y)A)=P(0,1)+P(0,2)+P(1,0)+(1,1)+P(2,0)P\left(\left(x,y\right)\in A\right)=P\left(0,1\right)+P\left(0,2\right)+P\left(1,0\right)+\left(1,1\right)+P\left(2,0\right)

=135+370+370+935+970=\frac{1}{35}+\frac{3}{70}+\frac{3}{70}+\frac{9}{35}+\frac{9}{70}

=2+3+3+18+970=\frac{2+3+3+18+9}{70}

=3570=\frac{35}{70}

=12=\frac{1}{2}

Jadi, P((x,y)A)P\left(\left(x,y\right)\in A\right) untuk A={(x,y)x+y2}A=\left\{\left(x,y\right)\mid x+y\le2\right\} adalah 12\frac{1}{2}.

K13 Kelas XII Matematika Statistika Distribusi Peluang Binomial Distribusi Variabel Acak Skor 3
Matematika Peminatan Soal Cerita LOTS
Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal