Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Integral

Diketahui:

Gradien garis singgung kurva tersebut adalah $\frac{dy}{dx}=5-4x$

Melalui titik $\left(2,1\right)$

Ditanya:

Nilai $y$ pada $x=3$

Dijawab:

$\frac{dy}{dx}=5-4x$

$\Leftrightarrow dy=(5-4x)dx$

$\Leftrightarrow\int dy=\int(5-4x)dx$

$\Leftrightarrow y=\int(5-4x)dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$y=\int(5-4x)dx$

$\Leftrightarrow y=\int5dx-\int4xdx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$ dan $\int adx=ax+C$

Sehingga didapatkan:

$y=\int5dx-\int4xdx$

$\Leftrightarrow y=5x-\frac{4}{(1+1)}x^{(1+1)}+C$

$\Leftrightarrow y=5x-\frac{4}{2}x^2+C$

$\Leftrightarrow y=5x-2x^2+C$

Kurva melalui titik $\left(2,1\right)$ artinya $x=2$ dan $y=1$, maka akan diperoleh konstanta $C$ sebagai berikut:

$y=5x-2x^2+C$

$\Leftrightarrow1=5(2)-2(2)^2+C$

$\Leftrightarrow1=10-2(4)+C$

$\Leftrightarrow1=10-8+C$

$\Leftrightarrow1=2+C$

$\Leftrightarrow1-2=C$

$\Leftrightarrow-1=C$

$\Leftrightarrow C=-1$

Persamaan kurvanya adalah $y=5x-2x^2-1$

Nilai $y$ pada $x=3$ didapatkan:

$y=5(3)-2(3)^2-1$

$\Leftrightarrow y=15-2(9)-1$

$\Leftrightarrow y=15-18-1$

$\Leftrightarrow y=-4$

Jadi, nilai $y$ pada $x=3$ adalah $-4$.