Bank Soal Matematika SMA Integral Fungsi Aljabar

Ingat bahwa $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ maka:

$\int x^2(2x+1)^2dx=\int x^2((2x)^2+(2(2x)(1)+(1)^2)dx=\int x^2(4x^2+4x+1)dx$

Ingat bahwa $a(b+c+d)=ab+ac+ad$ dan $x^ax^b=x^{a+b}$ maka:

$\int x^2(4x^2+4x+1)dx$

$=\int((x^2)(4x^2)+(x^2)(4x)+(x^2)(1))dx$

$=\int(4x^{2+2}+4x^{2+1}+x^2)dx$

$=\int(4x^4+4x^3+x^2)dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan integral penjumlahan dan pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int(4x^4+4x^3+x^2)dx=\int4x^4dx+\int4x^3dx+\int x^2dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Maka didapatkan:

$\int x^2(2x+1)^2dx$

$=\int4x^4dx+\int4x^3dx+\int x^2dx$

$=\frac{4}{4+1}x^{4+1}+\frac{4}{3+1}x^{3+1}+\frac{1}{2+1}x^{2+1}+C$

$=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+C$

$=\frac{4}{5}x^5+x^4+\frac{1}{3}x^3+C$

Jadi, $\int x^2(2x+1)^2dx=\frac{4}{5}x^5+x^4+\frac{1}{3}x^3+C$