$$Diketahui: $y=\frac{2}{3}x^2-2x+6$

Ditanya: Persamaan garis normal kurva di titik $\left(3,6\right)$

Dijawab:

Jika $y=f\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama dari fungsi $f$ dapat ditentukan menggunakan metode berikut.

$f'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Adapun hubungan antara gradien garis singgung dan turunan fungsi adalah sebagai berikut.

$m=y'$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$m=\left(\frac{2}{3}\times2\right)x^{2-1}-\left(2\times1\right)x^{1-1}+0$

$m=\frac{4}{3}x-2$

Gradien garis singgung kurva di titik $(3,6)$ dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai $x=3$ ke persamaan $m$, sehingga diperoleh:

$m=\frac{4}{3}\left(3\right)-2=4-2=2$

Garis normal suatu kurva selalu tegak lurus dengan garis singgungnya, sehingga:

$m_1\times m_2=-1\ \Rightarrow m_2=-\frac{1}{m_1}$ $$

$m_1:$ Gradien garis singgung

$m_2:$ Gradien garis normal

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$m_{norm}=m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{2}$

Persamaan garis normal kurva dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y-y_1=m_{norm}\left(x-x_1\right)$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y-\left(6\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(x-3\right)$

$-2y+12=x-3$ (Kalikan kedua ruas dengan $\left(-2\right)$)

$x+2y=15$

Jadi, persamaan garis normal kurva $y$ di titik $\left(3,6\right)$ adalah $x+2y=15$.