Bank Soal Matematika SMA Induksi Matematika pada Keterbagian

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui $P\left(n\right)$ menyatakan bahwa $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+1$ habis dibagi 3. Jika diandaikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , maka berdasarkan langkah induksi matematika akan dibuktikan untuk $n=k+1$ berlaku ....

A

$3k^2+3k+6$ habis dibagi 3

B

$3k^2+6k+9$ habis dibagi 3

C

$3k^2+9k+12$ habis dibagi 3

D

$3k^2+12k+15$ habis dibagi 3

E

$3k^2+15k+18$ habis dibagi 3

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ( $p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$ , maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Diketahui $P\left(n\right)$ menyatakan bahwa $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+1$ habis dibagi 3. Pada soal telah diandaikan bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ . Berdasarkan langkah induksi, akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ , yaitu dengan mensubstitusikan $n=k+1$ ke dalam $P\left(n\right)$ .