Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Solusi dari pertidaksamaan $1-x<\sqrt{x^2-2x}$ adalah ....

A

$x\ge2$

B

{}

C

$x\le2$

D

$x\le0$ dan $x\ge2$

E

$x\ge0$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $1-x<\sqrt{x^2-2x}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\ g\left(x\right)$ . Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi 1 (*):

Irisan dari

Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol) (II)
Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)>g\left(x\right)^2$ (III)

Solusi 2 (**):

Irisan dari

Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (IV)
Kasus fungsi $g\left(x\right)<0$ (negatif) (V)

Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika $g\left(x\right)<0$ , $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ akan benar untuk seluruh nilai $x$ riil.

Solusi akhir:

Gabungan dari solusi 1 dan 2.

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{x^2-2x}>1-x$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-2x$ dan $g\left(x\right)=1-x$ .

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Solusi 1:

Kasus 1

$x^2-2x\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$ .

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

$x\le x_1$ atau $x\ge x_2$ , untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
$x_1\le x\le x_2$ , untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)