Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilihan Ganda

Fungsi P(t)=20tt+1P\left(t\right)=\frac{20t}{t+1} memodelkan populasi, dalam ribuan, di Kota Pisa, tt tahun setelah 2020.

Sementara itu, fungsi Q(t)=240t+8Q\left(t\right)=\frac{240}{t+8} memodelkan populasi di Kota Quintet.

Tentukan periode waktu ketika populasi di Kota Quintet melebihi populasi di Kota Pisa!

A

8<t<2-8<t<-2 atau 1<t<6-1<t<6

B

0t<60\le t<6

C

2<t<1-2<t<-1

D

t>6t>6

E

0<t<60<t<6

Pembahasan:

Diketahui:

Berdasarkan soal, diketahui pertidaksamaannya adalah

240t+8>20tt+1\frac{240}{t+8}>\frac{20t}{t+1}

Ditanya:

Batas nilai tt yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

f(x)g(x)0, f(x)g(x)>0, f(x)g(x)<0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0 , atau f(x)g(x)0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

  1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
  2. Menyamakan penyebut
  3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
  4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu f(x)=0f\left(x\right)=0 dan g(x)=0g\left(x\right)=0. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
  5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

240t+8>20tt+1\frac{240}{t+8}>\frac{20t}{t+1} ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

240t+820tt+1>0\frac{240}{t+8}-\frac{20t}{t+1}>0

240(t+1)20t(t+8)(t+8)(t+1)>0\frac{240\left(t+1\right)-20t\left(t+8\right)}{\left(t+8\right)\left(t+1\right)}>0

Bagi kedua ruas dengan 20-20 agar angkanya lebih sederhana.

t(t+8)12(t+1)(t+8)(t+1)<0\frac{t\left(t+8\right)-12\left(t+1\right)}{\left(t+8\right)\left(t+1\right)}<0

t2+8t12t12(t+8)(t+1)<0\frac{t^2+8t-12t-12}{\left(t+8\right)\left(t+1\right)}<0

t24t12(t+8)(t+1)<0\frac{t^2-4t-12}{\left(t+8\right)\left(t+1\right)}<0 ... (2)

Dari sini, diketahui f(t)=t24t12, g(t)=(t+8)(t+1)f\left(t\right)=t^2-4t-12,\ g\left(t\right)=\left(t+8\right)\left(t+1\right).

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

f(t)=0f\left(t\right)=0

t24t12=0t^2-4t-12=0

(t6)(t+2)=0\left(t-6\right)\left(t+2\right)=0

t6=0t-6=0 t=6t=6 atau

t+2=0t+2=0 t=2t=-2

g(t)=0g\left(t\right)=0

(t+8)(t+1)=0\left(t+8\right)\left(t+1\right)=0

t+8=0t+8=0 t=8t=-8 atau

t+1=0t+1=0 t=1t=-1

Totalnya, ada empat nilai pembuat nol di f(x)g(x)\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari keempat titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah << , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang 1<t<6-1<t<6, kita gunakan t=0t=0 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

024012(0+8)(0+1)<0\frac{0^2-4\cdot0-12}{\left(0+8\right)\left(0+1\right)}<0

128<0\frac{-12}{8}<0 ... (3)

Ruas kiri negatif. Dengan demikian, interval tersebut menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar, sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Karena tt tidak boleh negatif, kita tidak ambil hasil yang memiliki nilai tt negatif. Jadi, solusi akhirnya adalah 0t<60\le t<6. Jika diterjemahkan ke tahun, dari tahun 2020 hingga 2026 populasi di Kota Quintet lebih banyak daripada Kota Pisa.

Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Rasional
Rangkuman
27 April 2021
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal