Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=2x+4$ dan $g\left(x\right)=\frac{2x+1}{x+1},\ x\ne-1$

Ditanya:

Invers dari $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$?

Jawab:

Definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\frac{2x+1}{x+1}\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2\left(\frac{2x+1}{x+1}\right)+4$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{2\left(2x+1\right)}{x+1}+4$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{4x+2}{x+1}+\frac{4\left(x+1\right)}{x+1}$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{4x+2}{x+1}+\frac{4x+4}{x+1}$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{4x+2+4x+4}{x+1}$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{4x+4x+2+4}{x+1}$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{8x+6}{x+1}$

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Sebelumnya, perlu diingat sifat distributif operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

Akan dicari invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ pada soal. Dengan kata lain, akan dicari $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)$ yang memenuhi

$\left(f\circ g\right)\left(\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)\right)=x$.

Dimisalkan $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=y$ diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(y\right)=x$

Berdasarkan definisi fungsi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ diperoleh

$\frac{8y+6}{y+1}=x$

$\Leftrightarrow8y+6=x\left(y+1\right)$

$\Leftrightarrow8y+6=xy+x$

$\Leftrightarrow8y-xy=x-6$, dengan sifat distributif diperoleh

$\Leftrightarrow\left(8-x\right)y=x-6$

$\Leftrightarrow y=\frac{x-6}{8-x}$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{x-6}{8-x}$

Jadi invers dari $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ adalah $\frac{x-6}{8-x}$