Bank Soal Matematika SMA Distribusi Peluang Binomial

Diketahui:

Peluang seseorang sembuh dari penyakit hati adalah $0,6$

Terdapat 10 orang diketahui menderita penyakit hati

Ditanya:

Peluang tepat 7 orang yang sembuh $=?$

Dijawab:

Soal di atas termasuk dalam kasus distribusi binomial karena percobaan terdiri dari $n$ pengulangan dan setiap percobaan hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi yaitu sembuh dari penyakit hati dan belum sembuh dari penyakit hati.

Di sini 10 orang diketahui menderita penyakit hati adalah percobaan dengan 10 pengulangan sedangkan sembuh dari penyakit hati dan belum sembuh dari penyakit hati adalah dua kejadian yang mungkin terjadi.

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit dengan fungsi peluangnya adalah

$P\left(X=x\right)=b\left(x;\ n;\ p\right)=\left(_x^n\right)\cdot\ p^x\ \cdot\ \left(1-p\right)^{n-x}$

Keterangan:

$p$ adalah peluang sukses

$n$ adalah banyaknya pengulangan

$x$ adalah banyaknya sukses dalam $n$ kali pengulangan

$\left(_x^n\right)$ adalah kombinasi binomial dimana $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ \cdot\ x!}$

Pada kasus di atas didapatkan bahwa:

$n=10$

$x=7$

$p=0,6$

Sehingga:

$P\left(X=7\right)=\left(_{\ \ 7}^{\ 10\ }\right)\cdot\left(0,6\right)^7\cdot\left(1-0,6\right)^{\left(10-7\right)}$

$=\left(_{\ \ 7}^{\ 10\ }\right)\cdot\left(0,6\right)^7\cdot\left(0,4\right)^3$

$=\left(\frac{10!}{\left(10-7\right)!\ \cdot\ 7!}\right)\cdot\left(0,6\right)^7\cdot\left(0,4\right)^3$

$=\left(\frac{10!}{3!\ \cdot\ 7!}\right)\cdot\left(0,6\right)^7\cdot\left(0,4\right)^3$

$=0,2150$

Jadi, peluang tepat 7 orang yang sembuh adalah $0,2150$.