Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Misalkan $X$ adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi peluang

Nilai $k$ yang memenuhi adalah ....

A

$12$

B

$\frac{1}{12}$

C

$\frac{16}{3}$

D

$\frac{3}{16}$

E

$1$

Pembahasan:

Diketahui:

Misalkan $X$ adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi peluang

Ditanya:

Nilai $k=?$

Dijawab:

Fungsi $f\left(x\right)$ adalah fungsi padat peluang dari peubah acak kontinu $X$ yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil $R$ , bila memenuhi syarat:

$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

Karena $f\left(x\right)=0$ untuk nilai $x$ yang tidak berada pada interval $-2\le x\le2$ maka:

$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

$\Leftrightarrow\int_{-2}^2k\left(3x+x^2\right)dx=1$

$\Leftrightarrow k\int_{-2}^2\left(3x+x^2\right)dx=1$

Ingat bahwa untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

dan

$\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

dengan $F\left(x\right)$ adalah suatu anti turunan dari $f\left(x\right)$ sehingga:

$k\int_{-2}^2\left(3x+x^2\right)dx=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3\right)\right]_{-2}^2=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(\frac{3}{2}\left(2\right)^2+\frac{1}{3}\left(2\right)^3\right)-\left(\frac{3}{2}\left(-2\right)^2+\frac{1}{3}\left(-2\right)^3\right)\right]=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(\frac{3}{2}\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(8\right)\right)-\left(\frac{3}{2}\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(-8\right)\right)\right]=1$