Bank Soal Matematika SMA Peluang Suatu Kejadian

Diketahui:

10 siswi dan 8 siswa akan dipilih 4 orang untuk menjadi pengurus inti

Paling banyak 2 siswi yang dipilih

Ditanya:

Banyak cara memilih$=?$

Jawab:

Siswa dipilih untuk menempati pengurus inti (yang dalam hal ini tidak disebutkan jabatan/posisinya dan bersifat umum). Ini artinya, bila siswa A dan B dipilih, maka sama saja artinya dipilih siswa B dan siswa A (tidak mempermasalahkan urutan pemilihan) sehingga banyak pemilihan mengikuti aturan kombinasi.

Ingat rumus kombinasi $C_k^n=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$

Paling banyak 3 siswi mengindikasikan bahwa akan ada 3 kemungkinan: tidak ada satupun siswi yang dipilih, ada 1 siswi yang dipilih, dan ada 2 siswi yang dipilih.

Kemungkinan 1:

Ketika tidak ada satupun siswi yang dipilih, maka keempat orang yang dipilih merupakan 4 siswa sehingga banyak cara memilih adalah

$C_4^8=\frac{8!}{4!\cdot\left(8-4\right)!}=\frac{8!}{4!\cdot4!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot4!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{1.680}{24}=70$

Kemungkinan 2:

Ketika ada satu siswi yang dipilih, maka ketiga orang yang dipilih merupakan 3 siswa sehingga banyak cara memilih adalah

$C_1^{10}\cdot C_3^8=\frac{10!}{1!\cdot\left(10-1\right)!}\cdot\frac{8!}{3!\cdot\left(8-3\right)!}=\frac{10!}{1!\cdot9!}\cdot\frac{8!}{3!\cdot5!}=\frac{10\cdot9!}{1!\cdot9!}\cdot\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3!\cdot5!}=10\cdot\frac{8\cdot7\cdot6}{3!}=10\cdot\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=10\cdot56=560$

Kemungkinan 3:

Ketika ada dua siswi yang dipilih, maka kedua orang yang dipilih merupakan 2 siswa sehingga banyak cara memilih adalah

$C_2^{10}\cdot C_2^8=\frac{10!}{2!\cdot\left(10-2\right)!}\cdot\frac{8!}{2!\cdot\left(8-2\right)!}=\frac{10!}{2!\cdot8!}\cdot\frac{8!}{2!\cdot6!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{2!\cdot8!}\cdot\frac{8\cdot7\cdot6!}{2!\cdot6!}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=45\cdot\frac{8\cdot7\cdot6}{2\cdot1}=45\cdot168=7.560$

Sehingga diperoleh

$70+560+7.560=8.190$

Jadi, secara keseluruhan, ada 8.190 cara.