Bank Soal Matematika SMA Aljabar Vektor

Diketahui:

$A\left(4,\ 2,\ 1\right)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(4,\ 2,\ 1\right)$

$B\left(1,\ 1,\ 1\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{b}=\left(1,\ 1,\ 1\right)$

$C\left(2,\ 1,\ 3\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{c}=\left(2,\ 1,\ 3\right)$

$D\left(0,\ 1,\ 4\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{c}=\left(0,\ 1,\ 4\right)$

$\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}+l\overrightarrow{OC}$

Ditanya:

$h=?$

$k=?$

$l=?$

Jawab:

Misalkan vektor-vektor posisi dari $A,\ B,\ C,$ dan $D$ adalah $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$ dan $\overrightarrow{d}$ , maka

$\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\ +l\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{d}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{c}$

Untuk lebih memudahkan, selanjutnya vektor akan disajikan dengan vektor kolom.

Sehingga diperoleh tiga persamaan:

$4h+k+2l=0$ ...(1)

$2h+k+l=1$ ...(2)

$h+k+3l=4$ ...(3)

Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2)

Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (3)

Lakukan eliminasi lagi pada persamaan (4) dan (5)

Substitusi $h=-1$ ke persamaan (4) atau (5)

$2h+l=-1$

$\Leftrightarrow\ 2\left(-1\right)+l=-1$

$\Leftrightarrow\ -2+l=-1$

$\Leftrightarrow\ l=-1+2$

$\Leftrightarrow\ l=1$

Substitusi $h=-1$ dan $l=1$ ke persamaan (1), (2), atau (3)

$4h+k+2l=0$

$\Leftrightarrow\ 4\left(-1\right)+k+2\left(1\right)=0$

$\Leftrightarrow\ -4+k+2=0$

$\Leftrightarrow\ -2+k=0$

$\Leftrightarrow\ k=2$

Uji nilai $h=-1$, $k=2$, dan $l=1$

$\overrightarrow{OD}=h\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\ +l\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{d}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{c}$

[terbukti benar]

Jadi, nilai h, k dan l berturut-turut adalah -1, 2, 1.