Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Diketahui:

$\overrightarrow{a}=\left(1,\ 3,\ 1\right)$

$\overrightarrow{b}=\left(2,\ 3,\ 5\right)$

$\overrightarrow{c}=\left(4,\ 2,\ m\right)$

$\overrightarrow{a}\perp\ \overrightarrow{c}$

Ditanya:

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)=?$

Jawab:

Jika $\overrightarrow{a}\$ dan $\overrightarrow{c}$ saling tegak lurus, maka $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\ =0$, sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

$\left(1,\ 3,\ 1\right)\cdot\left(4,\ 2,\ m\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(1\right)\left(4\right)+\left(3\right)\left(2\right)+\left(1\right)\left(m\right)=0$

$\Leftrightarrow\ 4+6+m=0$

$\Leftrightarrow\ 10+m=0$

$\Leftrightarrow\ m=-10$

Maka, kita dapat menemukan $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ dan $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)$.

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left(1,\ 3,\ 1\right)-\left(2,\ 3,\ 5\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left(\left(1-2\right),\ \left(3-3\right),\ \left(1-5\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left(-1,\ 0,\ -4\right)$

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)=\left(1,\ 3,\ 1\right)+\left(4,\ 2,\ \left(-10\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)=\left[\left(1+4\right),\ \left(3+2\right),\ \left(1+\left(-10\right)\right)\right]$

$\Leftrightarrow\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)=\left(5,\ 5,\ -9\right)$

Dengan demikian,

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-1,\ 0,\ 4\right)\cdot\left(5,\ 5,\ -9\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(-1\right)\left(5\right)+\left(0\right)\left(5\right)+\left(4\right)\left(-9\right)$

$\Leftrightarrow\ -5+0+\left(-36\right)$

$\Leftrightarrow\ -5-36$

$\Leftrightarrow\ -41$

Jadi, hasil dari $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)$ adalah -41.