Bank Soal Matematika SMA Dasar Teori Vektor dan Operasi Vektor

Diketahui:

$\overrightarrow{a}$ adalah vektor posisi $A$: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{b}$ adalah vektor posisi $B$: $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}$ adalah vektor posisi $C$: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OE}$

Ditanya:

Vektor posisi $M$: $\overrightarrow{OM}=?$

Jawab:

Secara umum, penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$), sehingga diperoleh:

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Hal tersebut tetap berlaku untuk penjumlahan $n$ vektor, secara umum dapat ditulis dengan

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+...+\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}$

Kita dapat menemukan vektor posisi $M$ berdasarkan hal-hal yang sudah diketahui dan dapat ditulis sebagai berikut.

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$

Diketahui $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OE}$, maka

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}\right)$

Substitusikan vektor-vektor yang sudah diketahui.

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Jadi, vektor posisi $M$ adalah $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$