Bank Soal Matematika SMA Konsep dan Operasi Suku Banyak

Diketahui:

$\frac{2x^2+3x+4}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}\equiv\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+3x-1}$

Ditanya:

$A+B+C=?$

Jawab:

Misalkan ada dua suku banyak,

$f\left(x\right)=a_nx^n+a_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

$g\left(x\right)=b_nx^n+b_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+...+b_2x^2+b_1x+b_0$

jika diketahui $f\left(x\right)\equiv g\left(x\right)$ maka dapat diperoleh kesimpulan suatu kesamaan dari suku banyak tersebut. Kesamaan yang diperoleh merupakan kesamaan dengan variabel yang sama. Sehingga,

$a_n=b_n;\ a_{\left(n-1\right)}=b_{\left(n-1\right)};\ ...\ ;\ \ a_2=b_2;\ a_1=b_1;\ a_0=b_0$

Untuk menemukan nilai $A,\ B,$ dan $C$, kita perlu menyamakan penyebut kedua ruas terlebih dahulu

$$ $\frac{2x^2+3x+4}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}\equiv\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+3x-1}$

$\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+4}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}\equiv\frac{A\left(x^2+3x-1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+4}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}\equiv\frac{Ax^2+3Ax-A+Bx^2-2Bx+Cx-2C}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}$

Kumpulkan suku yang sejenis

$\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+4}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}\equiv\frac{Ax^2+Bx^2+3Ax-2Bx+Cx-A-2C}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+4}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}\equiv\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(3A-2B+C\right)x+\left(-A-2C\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+3x-1\right)}$

Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh persamaan-persamaan berikut.

$A+B=2$$\ \Leftrightarrow\ B=2-A$ ...(1)

$3A-2B+C=3$ ...(2)

$-A-2C=4\ \Leftrightarrow\ C=\frac{4+A}{-2}$ ...(3)

Substitusikan persamaan (1) dan (3) ke persamaan (2)

$3A-2B+C=3$

$\Leftrightarrow\ 3A-2\left(2-A\right)+\left(\frac{4+A}{-2}\right)=3$

$\Leftrightarrow\ 3A-4+2A+\left(\frac{4+A}{-2}\right)=3$

Kalikan kedua ruas dengan 2

$\Leftrightarrow\ 6A-8+4A-\left(4+A\right)=6$

$\Leftrightarrow\ 6A+4A-A-8-4=6$

$\Leftrightarrow\ 9A-12=6$

$\Leftrightarrow\ 9A=18$

$\Leftrightarrow\ A=2$

Substitusikan $A=2$ ke persamaan (1)

$B=2-A$

$\Leftrightarrow\ B=2-2$

$\Leftrightarrow\ B=0$

Substitusikan $A=2$ ke persamaan (3)

$C=\frac{4+A}{-2}$

$\Leftrightarrow\ C=\frac{4+2}{-2}$

$\Leftrightarrow\ C=\frac{6}{-2}$

$\Leftrightarrow\ C=-3$

Ditemukan bahwa $A=2,\ B=0,\ C=-3$, maka

$A+B+C=2+0+\left(-3\right)$

$A+B+C=-1$

Jadi, nilai $A+B+C$ adalah -1.