Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $y=3\sin x-8$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Nilai balik maksimum dari $y=3\sin x-8$ ?

Jawab:

Secara umum nilai stasioner adalah nilai $f\left(x\right)$ ketika $f'\left(x\right)=0$. Dengan demikian untuk mencari nilai stasioner terlebih dahulu dicari pembuat nol untuk $f'\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $y=3\sin x-8$. Diperoleh

$y'=3\cos x$

dengan pembuat nol

$y'=0$

$\Leftrightarrow3\cos x=0$

$\Leftrightarrow\cos x=0$

$\Leftrightarrow\cos x=\cos90\degree$

sebab $\cos90\degree=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=-\theta+k.360\degree$ sehingga untuk $\cos x=\cos90\degree$ didapat

$x=90\degree+k.360\degree$

untuk $k=0$ diperoleh $x=90\degree+0.360\degree=90\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ diperoleh $x=90\degree+1.360\degree=450\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$x=-90\degree+k.360\degree$

untuk $k=0$ diperoleh $x=-90\degree+0.360\degree=-90\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ diperoleh $x=-90\degree+1.360\degree=270\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\left\{90\degree,\ 270\degree\right\}$

Secara umum ada tiga kondisi untuk nilai stasioner fungsi $f\left(x\right)$ untuk $x=c$. Hal ini dapat diperhatikan dari tanda $f'\left(x\right)$ disekitar $x=c$.

1. $f\left(x\right)$ mempunyai nilai balik maksimum $f\left(c\right)$ jika $f'\left(x\right)$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
2. $f\left(x\right)$ mempunyai nilai balik minimum $f\left(c\right)$ jika $f'\left(x\right)$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
3. $f\left(x\right)$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'\left(x\right)$ tidak berganti tanda saat melalui nol.

Selanjutnya akan diperhatikan tanda $y'$ disekitar $x=\left\{90\degree,\ 270\degree\right\}$.

Untuk subinterval $0\degree\le x<90\degree$ dipilih $x=60\degree$ didapat

$y'=3\cos 60\degree=3.\frac{1}{2}>0$ (positif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Yang diminta pada soal adalah nilai balik minimum, yaitu $y'$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol. Hal tersebut terjadi pada $x=270\degree$. Nilai balik minimum tersebut adalah

$y=3\sin x-8$

$\Leftrightarrow y=3\sin 270\degree-8$

$\Leftrightarrow y=3(-1)-8$

$\Leftrightarrow y=-3-8=-11$