Bank Soal Matematika Peminatan SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Dengan menggunakan uji turunan kedua, fungsi h(x)=sin3x4h\left(x\right)=\sin 3x-4 dengan 0x2π0\le x\le2\pi mempunyai titik balik minimum ....

A

(16π, 3), (56π, 3),(\frac{1}{6}\pi,\ -3),\ (\frac{5}{6}\pi,\ -3), dan (96π, 3)(\frac{9}{6}\pi,\ -3)

B

(16π, 9), (56π, 9),(\frac{1}{6}\pi,\ -9),\ (\frac{5}{6}\pi,\ -9), dan (96π, 9)(\frac{9}{6}\pi,\ -9)

C

(12π, 3), (76π, 3),(\frac{1}{2}\pi,\ -3),\ (\frac{7}{6}\pi,\ -3), dan (116π, 3)(\frac{11}{6}\pi,\ -3)

D

(12π, 9), (76π, 9),(\frac{1}{2}\pi,\ -9),\ (\frac{7}{6}\pi,\ -9), dan (116π, 9)(\frac{11}{6}\pi,\ -9)

E

(12π, 5), (76π, 5),(\frac{1}{2}\pi,\ -5),\ (\frac{7}{6}\pi,\ -5), dan (116π, 5)(\frac{11}{6}\pi,\ -5)

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi h(x)=sin3x4h\left(x\right)=\sin 3x-4 dengan 0x2π0\le x\le2\pi.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, titik balik minimum fungsi hh ?

Jawab:

Misalkan fungsi f(x)f\left(x\right) kontinu dan diferensiabel dalam interval II yang memuat x=cx=c. Turunan pertama f(x)f'\left(x\right) dan turunan kedua f(x)f''\left(x\right) ada pada interval II, serta f(c)=0f'\left(c\right)=0 dengan f(c)f\left(c\right) nilai stasioner.

  1. Jika f(c)<0f''\left(c\right)<0 maka f(c)f\left(c\right) adalah nilai balik maksimum fungsi ff.
  2. Jika f(c)>0f''\left(c\right)>0 maka f(c)f\left(c\right) adalah nilai balik minimum fungsi ff.
  3. Jika f(c)=0f''\left(c\right)=0 maka f(c)f\left(c\right) bukan nilai ekstrim maksimum fungsi ff dan titik (c, f(c))\left(c,\ f\left(c\right)\right) adalah titik belok kurva fungsi ff.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi h(x)=sin3x4h\left(x\right)=\sin 3x-4. Diperoleh

h(x)=3cos3xh'\left(x\right)=3\cos 3x

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

h(x)=9sin3xh''\left(x\right)=-9\sin3 x

Syarat nilai balik minimum adalah

h(x)=0h'\left(x\right)=0

3cos3x=0\Leftrightarrow3\cos 3x=0

cos3x=0\Leftrightarrow\cos 3x=0

cos3x=cos12π\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\frac{1}{2}\pi

sebab cos12π=0\cos\frac{1}{2}\pi=0

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan cos(ax+b)=cosθ\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta adalah ax+b=θ+2kπax+b=\theta+2k\pi atau ax+b=θ+2kπax+b=-\theta+2k\pi sehingga untuk cos3x=cos12π\cos 3x=\cos\frac{1}{2}\pi didapat

3x=12π+2kπ3x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi

x=16π+23kπ\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\pi+\frac{2}{3}k\pi

x=(16+23k)π\Leftrightarrow x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k\right)\pi

untuk k=0k=0 diperoleh x=(16+23.0)π=16πx=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.0\right)\pi=\frac{1}{6}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 diperoleh x=(16+23.1)π=(16+46)π=56πx=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.1\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\right)\pi=\frac{5}{6}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=2k=2 diperoleh x=(16+23.2)π=(16+86)π=96πx=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.2\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)\pi=\frac{9}{6}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=3k=3 diperoleh x=(16+23.3)π=(16+2)πx=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.3\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+2\right)\pi tidak memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

atau

3x=12π+2kπ3x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi

x=16π+23kπ\Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}\pi+\frac{2}{3}k\pi

x=(16+23k)π\Leftrightarrow x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k\right)\pi

untuk k=0k=0 diperoleh x=(16+23.0)π=16πx=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.0\right)\pi=-\frac{1}{6}\pi tidak memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 diperoleh x=(16+23.1)π=(16+46)π=36π=12πx=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.1\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\right)\pi=\frac{3}{6}\pi=\frac{1}{2}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=2k=2 diperoleh x=(16+23.2)π=(16+86)π=76πx=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.2\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)\pi=\frac{7}{6}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=3k=3 diperoleh x=(16+23.3)π=(16+126)π=116πx=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.3\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{12}{6}\right)\pi=\frac{11}{6}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

Artinya semua xx yang memenuhi adalah x=16π, 56π, 96π, 12π, 76π, 116πx=\frac{1}{6}\pi,\ \frac{5}{6}\pi,\ \frac{9}{6}\pi,\ \frac{1}{2}\pi,\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi

Selanjutnya akan ditinjau nilai h(x)h''\left(x\right) untuk xx yang telah diperoleh sebelumnya.

Perlu diingat untuk sembarang sin(2π+θ)=sinθ\sin\left(2\pi+\theta\right)=\sin\theta. Didapat

h(16π)=9sin3.16π=9sin12π=9.1=9<0h''\left(\frac{1}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{1}{6}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0

h(56π)=9sin3.56π=9sin52π=9sin12π=9.1=9<0h''\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{5}{6}\pi=-9\sin\frac{5}{2}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0

h(96π)=9sin3.96π=9sin92π=9sin12π=9.1=9<0h''\left(\frac{9}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{9}{6}\pi=-9\sin\frac{9}{2}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0

h(12π)=9sin3.12π=9sin32π=9.(1)=9>0h''\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-9\sin3.\frac{1}{2}\pi=-9\sin\frac{3}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0

h(76π)=9sin3.76π=9sin72π=9sin32π=9.(1)=9>0h''\left(\frac{7}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{7}{6}\pi=-9\sin\frac{7}{2}\pi=-9\sin\frac{3}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0

h(116π)=9sin3.116π=9sin112π=9sin112π=9.(1)=9>0h''\left(\frac{11}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{11}{6}\pi=-9\sin\frac{11}{2}\pi=-9\sin\frac{11}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0

Yang diminta soal adalah titik balik minimum, sehingga dipilih x=cx=c yang memenuhi h(c)>0h''\left(c\right)>0

yaitu x=12π, 76π, 116πx=\frac{1}{2}\pi,\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi

Untuk x=12πx=\frac{1}{2}\pi didapat h(12π)=sin3.12π4=sin32π4=14=5h\left(\frac{1}{2}\pi\right)=\sin3.\frac{1}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5

Untuk x=76πx=\frac{7}{6}\pi didapat h(76π)=sin3.76π4=sin72π4=sin32π4=14=5h\left(\frac{7}{6}\pi\right)=\sin3.\frac{7}{6}\pi-4=\sin\frac{7}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5

Untuk x=116πx=\frac{11}{6}\pi didapat h(116π)=sin3.116π4=sin112π4=sin32π4=14=5h\left(\frac{11}{6}\pi\right)=\sin3.\frac{11}{6}\pi-4=\sin\frac{11}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5

Jadi titik balik minimum fungsi hh adalah (12π, 5), (76π, 5),(\frac{1}{2}\pi,\ -5),\ (\frac{7}{6}\pi,\ -5), dan (116π, 5)(\frac{11}{6}\pi,\ -5)

K13 Kelas XII Matematika Peminatan Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
Teknik Hitung LOTS
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal