Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Himpunan penyelesaian pada interval $0<\theta<360^{\circ}$ dari persamaan trigonometri $2\sin^2\theta+3\sin\theta+1=0$ adalah ....

A

$\left\{210^{\circ},270^{\circ},330^{\circ}\right\}$

B

$\left\{30^{\circ},90^{\circ},150^{\circ}\right\}$

C

$\left\{120^{\circ},180^{\circ},240^{\circ}\right\}$

D

$\left\{45^{\circ},150^{\circ},315^{\circ}\right\}$

E

$\left\{60^{\circ},225^{\circ},315^{\circ}\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $2\sin^2\theta+3\sin\theta+1=0$

Ditanya:

Himpunan penyelesaiannya dari persamaan tersebut pada interval $0<\theta<360^{\circ}$

Dijawab:

Untuk mempermudah penghitungan. misalkan $\sin\theta$ adalah $x$ sehingga persamaan akan menjadi $2x^2+3x+1=0$ maka dari itu selanjutnya persamaan tersebut difaktorkan dan didapat persamaan $\left(2x+1\right)\left(x+1\right)=0$ . Berdasarkan faktor-faktor ini didapat hasil:

Himpunan selesaian pertama

$\left(2x+1\right)=0$

$\leftrightarrow2\sin\theta+1=0\$

$\leftrightarrow2\sin\theta=-1$

$\leftrightarrow\sin\theta=-\frac{1}{2}$

Maka dari itu, sudut yang memiliki nilai sinus sebesar $-\frac{1}{2}$ adalah $210^{\circ}$ . Dengan mengasumsikan bahwa persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$ , maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot360^{\circ}\$ dan $x=\left(180^{\circ}-a\right)+k\cdot360^{\circ}\$ mengingat periode dari sinus adalah $360^{\circ}\$ . Maka jika $x\$ dimisalkan sebagai $\theta$ dan $a$ dimisalkan sebagai $210^{\circ}$ kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$\theta=210\degree+k\ .\ 360\degree$

Maka dari itu, didapat himpunan penyelesaian dengan mengganti variabel k dengan 0,1,-1,dst.:

$\theta=210^{\circ}$ (k=0)
$\theta=570\degree$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$\theta=\left(180-210\right)\degree+k\ .\ 360\degree$

$\leftrightarrow\ \theta=-30^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$

Maka dari itu, didapat himpunan penyelesaian dengan mengganti variabel k dengan 0,1,2,dst.:

$\ \theta=-30^{\circ}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
$\ \theta=330^{\circ}$ (k=1)
$\ \theta=690^{\circ}$ (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Himpunan selesaian kedua

$\left(x+1\right)=0$

$\leftrightarrow\ \sin\theta+1=0$

$\leftrightarrow\ \sin\theta=-1$

Maka dari itu, sudut yang memiliki nilai sinus sebesar $-1$ adalah $270^{\circ}$ . Dengan mengasumsikan bahwa persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$ , maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot360^{\circ}\$ dan $x=\left(180^{\circ}-a\right)+k\cdot360^{\circ}\$ mengingat periode dari sinus adalah $360^{\circ}\$ . Maka jika $x\$ dimisalkan sebagai $\theta$ dan $a$ dimisalkan sebagai $270^{\circ}$ kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$\theta=270\degree+k\ .\ 360\degree$

Maka dari itu, didapat himpunan penyelesaian dengan mengganti variabel k dengan 0,1,-1,dst.:

$\ \ \theta=270^{\circ}$ (k=0)
$\ \ \theta=630^{\circ}$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]
$\ \ \theta=-90^{\circ}$ (k=-1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$\theta=\left(180-270\right)\degree+k\ .\ 360\degree$

$\ \leftrightarrow\ \theta=-90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$

Maka dari itu, didapat himpunan penyelesaian dengan mengganti variabel k dengan 0,1,2,dst.:

$\ \ \theta=-90^{\circ}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
$\ \ \theta=270^{\circ}$ (k=1)
$\ \ \theta=630^{\circ}$ (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\sin^2\theta+3\sin\theta+1=0$ pada interval $0^{\circ\ }<\theta<360^{\circ}$ adalah $\left\{210^{\circ},270^{\circ},330^{\circ}\right\}$ .