Bank Soal Matematika Peminatan SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Fungsi f(x)=3sinx+12f\left(x\right)=3\sin x+12 dengan 0x2π0\le x\le2\pi cekung ke atas pada interval ....

A

0<x<12π0<x<\frac{1}{2}\pi

B

12π<x<32π\frac{1}{2}\pi<x<\frac{3}{2}\pi

C

32π<x<2π\frac{3}{2}\pi<x<2\pi

D

0<x<π0<x<\pi

E

π<x<2π\pi<x<2\pi

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi f(x)=3sinx+12f\left(x\right)=3\sin x+12 dengan 0x2π0\le x\le2\pi

Ditanya:

Fungsi f(x)f\left(x\right) cekung ke atas pada interval?

Jawab:

Dimisalkan fungsi ff diferensiabel pada interval terbuka II

  1. Jika f(x)>0f''\left(x\right)>0 untuk semua xIx\in I maka kurva fungsi ff cekung ke atas pada interval II
  2. Jika f(x)<0f''\left(x\right)<0 untuk semua xIx\in I maka kurva fungsi ff cekung ke bawah pada interval II

Dengan demikian untuk menentukan kecekungan ditentukan terlebih dahulu turunan keduaya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=ay=a dengan aa suatu konstanta turunannya adalah y=0y'=0

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi f(x)=3sinx+12f\left(x\right)=3\sin x+12. Diperoleh

f(x)=3cosxf'\left(x\right)=3\cos x

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

f(x)=3sinxf''\left(x\right)=-3\sin x

Selanjutnya syarat untuk fungsi ff cekung ke atas adalah

f(x)>0f''\left(x\right)>0

3sinx>0\Leftrightarrow-3\sin x>0

sinx<0\Leftrightarrow\sin x<0

sinx<sin0\Leftrightarrow\sin x<\sin0

sebab sin0=0\sin0=0

Akan dicari pembuat nol dari pertidaksamaan sinx<sin0\sin x<\sin0 dengan memisalkan tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan. Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan sin(ax+b)=sinθ\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta adalah ax+b=θ+2kπax+b=\theta+2k\pi atau ax+b=(πθ)+2kπax+b=\left(\pi-\theta\right)+2k\pi sehingga untuk sinx=sin0\sin x=\sin0 didapat

x=0+2kπ=2kπx=0+2k\pi=2k\pi

untuk k=0k=0 didapat x=2.0.π=0x=2.0.\pi=0 memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 didapat x=2.1.π=2πx=2.1.\pi=2\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

atau

x=(π0)+2kπ=π+2kπ=(1+2k)πx=\left(\pi-0\right)+2k\pi=\pi+2k\pi=\left(1+2k\right)\pi

untuk k=0k=0 didapat x=(1+2.0)π=πx=\left(1+2.0\right)\pi=\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 didapat x=(1+2.1)π=3πx=\left(1+2.1\right)\pi=3\pi tidak memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

Artinya, pembuat nol dari sinx<sin0\sin x<\sin0 adalah x={0, π, 2π}x=\left\{0,\ \pi,\ 2\pi\right\}

Selanjutnya akan ditinjau nilai sinx\sin x untuk setiap interval yang terbentuk.

Untuk subinterval 0x<π0\le x<\pi dipilih x=13πx=\frac{1}{3}\pi didapat

sin13π=123\sin\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{2}\sqrt3 (positif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Mengingat pertidaksamaan sinx<0\sin x<0 (yang diperoleh sebelumnya) dipilih yang bernilai negatif. Jadi interval agar fungsi f(x)=3sinx+12f\left(x\right)=3\sin x+12 dengan 0x2π0\le x\le2\pi cekung ke atas adalah π<x<2π\pi<x<2\pi

K13 Kelas XII Matematika Peminatan Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
Teknik Hitung LOTS
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal