Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\sin^3x-\cos^3x=\left(\sin x+\cos x\right)^2-\frac{\sin2x}{2}$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian trigonometri pada interval $0<x<2\pi$ ?

Dijawab:

$\leftrightarrow\sin^3x-\cos^3x=\left(\sin x+\cos x\right)^2-\frac{\sin2x}{2}$

$\leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)=\left(\sin x+\cos x\right)^2-\frac{\sin2x}{2}$ (mengubah bentuk dari ruas kiri menggunakan rumus pangkat 3)

$\leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x-\frac{2\sin x\cos x}{2}$ (membuka kuadrat dari ruas kanan dan mengubah menggunakan identitas trigonometri)

$\leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x-\sin x\cos x$

$\leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)=\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x$

$\leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)=1$ (membagi kedua ruas dengan $\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x$ )

$\leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)^2=1^2$ (kuadratkan kedua ruas)

$\leftrightarrow\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1$

$\leftrightarrow1-2\sin x\cos x=1$ (menggunakan identitas geometri $\sin^2x+\cos^2x=1$)

$\leftrightarrow-2\sin x\cos x=0$

$\leftrightarrow\sin2x=0$ (mengubah bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dilanjut dengan mengalikan kedua ruas dengan $-1$)

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$ . Maka jika $x\$dimisalkan sebagai$$ $2x$ dan $a$ dimisalkan sebagai $0$ ,kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$2x=0+2k\pi$

$\leftrightarrow\ x=k\pi$ (membagi kedua ruas dengan $2$)

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=bilangan bulat:

1. $x=0$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
2. $x=\pi$ (k=1)
3. $x=2\pi$ (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$2x=\left(\pi-0\right)+2k\pi$

$\leftrightarrow\ 2x=\pi+2k\pi$

$\leftrightarrow\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ (membagi kedua ruas dengan $2$)

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=bilangan bulat:

1. $x=\frac{\pi}{2}$ (k=0)
2. $x=\frac{3\pi}{2}$ (k=1)
3. $x=\frac{5\pi}{2}$ (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Sehingga dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian yang memenuhi untuk persamaan trigonometri diatas adalah $\left\{\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$ .