Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Kurva $f\left(x\right)=2\tan x-\cot x$

Ditanya:

Persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)=2\tan x-\cot x$ di titik $\left(\frac{\pi}{4},1\right)$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis singgung suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

sehingga persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ adalah

$y-y_1=f'\left(x_1\right)\left(x-x_1\right)$

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\tan x$ turunannya adalah $y'=\sec^2 x$

Untuk fungsi $y=\cot x$ turunannya adalah $y'=-\csc^2 x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$ dengan $g\left(x\right)=2\tan x$ dan $h\left(x\right)=-\cot x$

Diperoleh

$g'\left(x\right)=2\sec^2x$

$h'\left(x\right)=\csc^2x$

Dengan demikian

$f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'\left(x\right)=2\sec^2x+\csc^2x$

dan gradien garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(\frac{\pi}{4},\ 1\right)$ adalah

$m=f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow m=2\sec^2\frac{\pi}{4}+\csc^2\frac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow m=2\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2$

$\Leftrightarrow m=2.\frac{4}{2}+\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow m=4+2$

$\Leftrightarrow m=6$

Selanjutnya persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(\frac{\pi}{4},\ 1\right)$ adalah

$y-1=6\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow y-1=6x-6.\frac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow y-1=6x-\frac{3}{2}\pi$

$\Leftrightarrow y=6x+1-\frac{3}{2}\pi$