Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\frac{\tan x}{\tan3x-\tan x}+\frac{\cot x}{\cot3x-\cot x}=-2\cos^2x$ , maka himpunan penyelesaiannya pada interval $0\le x\le\pi$ adalah ....

A

$\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\}$

B

$\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right\}$

E

$\left\{\frac{\pi}{4}\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri, $\frac{\tan x}{\tan3x-\tan x}+\frac{\cot x}{\cot3x-\cot x}=-2\cos^2x$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut jika intervalnya $0\le x\le\pi$ ?

Dijawab:

$\leftrightarrow\frac{\tan x}{\tan3x-\tan x}+\frac{\cot x}{\cot3x-\cot x}=-2\cos^2x$

$\leftrightarrow\frac{\tan x\left(\cot3x-\cot x\right)+\cot x\left(\tan3x-\tan x\right)}{\left(\tan3x-\tan x\right)\left(\cot3x-\cot x\right)}=-2\cos^2x$

$\leftrightarrow\frac{\tan x\cot3x-\tan x\cot x+\cot x\tan3x-\cot x\tan x}{\tan3x\cot3x+\tan x\cot x-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=-2\cos^2x$

Ingat bahwa $\cot x=\frac{1}{\tan x}$

$\leftrightarrow\frac{\tan x\cot3x-1+\cot x\tan3x-1}{1+1-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=-2\cos^2x$

$\leftrightarrow\frac{\tan x\cot3x+\cot x\tan3x-2}{2-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=-2\cos^2x$

$\leftrightarrow\frac{2-\tan x\cot3x-\cot x\tan3x}{2-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=2\cos^2x$

$\leftrightarrow1=2\cos^2x$

$\leftrightarrow2\cos^2x-1=0$

$\leftrightarrow\cos2x=0$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\cos x=\cos a$ , maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=-a+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari cosinus adalah $360^{\circ}\$ . Maka jika $x\$ dimisalkan sebagai $2x$ dan $a$ dimisalkan sebagai $\frac{\pi}{2}$ , kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$

$\leftrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

$x=\frac{\pi}{4}$ (k=0)
$x=\frac{5\pi}{4}$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$

$\leftrightarrow\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

$x=-\frac{\pi}{4}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
$x=\frac{3\pi}{4}$ (k=1)
$x=\frac{7\pi}{4}$ (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut pada interval yang telah ditentukan adalah $\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\}$ .