Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Soal

Pilgan

Terdapat sebuah persamaan trigonometri tanxtan3xtanx+cotxcot3xcotx=2cos2x\frac{\tan x}{\tan3x-\tan x}+\frac{\cot x}{\cot3x-\cot x}=-2\cos^2x , maka himpunan penyelesaiannya pada interval 0xπ0\le x\le\pi adalah ....

A

{π4,3π4}\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\}

B

{π4,3π2}\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right\}

C

{π4,π}\left\{\frac{\pi}{4},\pi\right\}

D

{}\left\{\varnothing\right\}

E

{π4}\left\{\frac{\pi}{4}\right\}

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri, tanxtan3xtanx+cotxcot3xcotx=2cos2x\frac{\tan x}{\tan3x-\tan x}+\frac{\cot x}{\cot3x-\cot x}=-2\cos^2x

Ditanya:

Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut jika intervalnya 0xπ0\le x\le\pi ?

Dijawab:

tanxtan3xtanx+cotxcot3xcotx=2cos2x\leftrightarrow\frac{\tan x}{\tan3x-\tan x}+\frac{\cot x}{\cot3x-\cot x}=-2\cos^2x

tanx(cot3xcotx)+cotx(tan3xtanx)(tan3xtanx)(cot3xcotx)=2cos2x\leftrightarrow\frac{\tan x\left(\cot3x-\cot x\right)+\cot x\left(\tan3x-\tan x\right)}{\left(\tan3x-\tan x\right)\left(\cot3x-\cot x\right)}=-2\cos^2x

tanxcot3xtanxcotx+cotxtan3xcotxtanxtan3xcot3x+tanxcotxtanxcot3xtan3xcotx=2cos2x\leftrightarrow\frac{\tan x\cot3x-\tan x\cot x+\cot x\tan3x-\cot x\tan x}{\tan3x\cot3x+\tan x\cot x-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=-2\cos^2x

Ingat bahwa cotx=1tanx\cot x=\frac{1}{\tan x}

tanxcot3x1+cotxtan3x11+1tanxcot3xtan3xcotx=2cos2x\leftrightarrow\frac{\tan x\cot3x-1+\cot x\tan3x-1}{1+1-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=-2\cos^2x

tanxcot3x+cotxtan3x22tanxcot3xtan3xcotx=2cos2x\leftrightarrow\frac{\tan x\cot3x+\cot x\tan3x-2}{2-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=-2\cos^2x

2tanxcot3xcotxtan3x2tanxcot3xtan3xcotx=2cos2x\leftrightarrow\frac{2-\tan x\cot3x-\cot x\tan3x}{2-\tan x\cot3x-\tan3x\cot x}=2\cos^2x

1=2cos2x\leftrightarrow1=2\cos^2x

2cos2x1=0\leftrightarrow2\cos^2x-1=0

cos2x=0\leftrightarrow\cos2x=0

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah cosx=cosa\cos x=\cos a, maka terdapat 2 hasil yaitu x=a+k2πx=a+k\cdot2\pi dan x=a+k2πx=-a+k\cdot2\pi mengingat periode dari cosinus adalah 360 360^{\circ}\ . Maka jika x x\ dimisalkan sebagai 2x2x dan aa dimisalkan sebagai π2\frac{\pi}{2}, kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

2x=π2+2kπ2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

 x=π4+kπ\leftrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

  1. x=π4x=\frac{\pi}{4} (k=0)
  2. x=5π4x=\frac{5\pi}{4} (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

2x=π2+2kπ2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

 x=π4+kπ\leftrightarrow\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

  1. x=π4x=-\frac{\pi}{4} (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
  2. x=3π4x=\frac{3\pi}{4} (k=1)
  3. x=7π4x=\frac{7\pi}{4} (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut pada interval yang telah ditentukan adalah {π4,3π4}\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\} .

K13 Kelas XI Matematika Trigonometri Persamaan Trigonometri Persamaan Trigonometri Skor 3
Matematika Peminatan LOTS Teknik Hitung
Video
18 Januari 2022
Persamaan Trigonometri | Matematika Peminatan | Kelas XI
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal