Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Diketahui:

Bola merah $=3$ bola

Bola kuning $=5$ bola

Bola hijau $=4$ bola

Banyak bola yang diambil $=3$ bola

$X$ adalah banyaknya bola merah yang terambil

$Y$ adalah banyaknya bola hijau yang terambil

Ditanya:

$P\left(\left(x,y\right)\in B\right)$ untuk $B=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y\le3\right\}$ $=?$

Jawab:

Soal di atas merupakan kasus yang dapat diselesaikan dengan konsep distribusi probabilitas bersama.

Misalkan $X$ dan $Y$ dua peubah acak diskrit dengan nilai-nilai $X$ meliputi $x_1,x_2,...,x_k$ dan nilai-nilai $Y$ meliputi $y_1,y_2,...,y_k$ maka setiap pasangan terurut $\left(x_k,y_k\right)$ yang merupakan probabilitas bahwa $X$ mempunyai nilai $x_k$ dan $Y$ mempunyai nilai $y_k$ dengan $P\left(x,y\right)$ merupakan sebuah fungsi probabilitas bersama dari peubah acak $X$ dan $Y$ dinyatakan oleh

$P\left(x,y\right)=P\left(\left(X=x\right)\cap\left(Y=y\right)\right)$

Berikut langkah-langkah mengerjakan soal tersebut.

Membuat daftar semua kemungkinan yang memenuhi

Diketahui $X$ adalah banyaknya bola merah yang terambil dan $Y$ adalah banyaknya bola hijau yang terambil, maka semua kemungkinan $\left(x,y\right)$ pada pengambilan $3$ bola adalah

$\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(0,3\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,0\right),\left(2,1\right),\left(3,0\right)$

Membuat formulasi fungsi yang sesuai

Analisa semua kemungkinan yang ada untuk membentuk formulasi fungsi yang sesuai.

Perhatikan $P\left(0,0\right)$ yang artinya peluang terambilnya $0$ bola merah dan $0$ bola hijau. Dengan kata lain terambil $3$ bola kuning. Banyak kombinasi mengambil $0$ dari $3$ bola merah, $0$ dari $4$ bola hijau, dan $3$ dari $5$ bola kuning adalah $\left(_0^3\right)\left(_0^4\right)\left(_3^5\right)$

Banyak kombinasi mengambil $3$ dari $12$ bola yang ada adalah $\left(_3^{12}\right)$

Sehingga $P\left(0,0\right)=\frac{\left(_0^3\right)\left(_0^4\right)\left(_3^5\right)}{\left(_3^{12}\right)}$ $=\frac{10}{220}$

Diperoleh formulasi fungsi yang sesuai yaitu

$P\left(x,y\right)=\frac{\left(_x^3\right)\left(_y^4\right)\left(_{3-x-y}^5\right)}{\left(_3^{12}\right)}$ untuk $X=0,1,2,3$ dan $Y=0,1,2,3$

Membuat tabel distribusi probabilitas bersama

Dari formulasi fungsi yang telah didapatkan maka selanjutnya hitung nilai probabilitas bersama dan buat tabel distribusinya.

Mencari $P\left(\left(x,y\right)\in B\right)$ untuk $B=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y\le3\right\}$

Kemungkinan $\left(x,y\right)$ yang memenuhi $2x+y\le3$ adalah

$B=\left\{\left(0,0\right),\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(0,3\right),\left(1,1\right)\right\}$

Sehingga

$P\left(\left(x,y\right)\in B\right)=P\left(0,0\right)+P\left(1,0\right)+P\left(0,1\right)+\left(0,2\right)+P\left(0,3\right)+P\left(1,1\right)$

$=\frac{10}{220}+\frac{30}{220}+\frac{40}{220}+\frac{30}{220}+\frac{4}{220}+\frac{60}{220}$

$=\frac{174}{220}$

Jadi, $P\left(\left(x,y\right)\in B\right)$ untuk $B=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y\le3\right\}$ adalah $\frac{174}{220}$.