Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\le-\frac{2}{5}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\le-\frac{2}{5}$ ... (1)

sehingga kita dapat lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}+\frac{2}{5}\le0$

⇔ $\frac{5x\ +\ 2\ \left(x-3\right)\left(x+1\right)}{5\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\le0$

⇔ $\frac{5x\ +\ 2\ \left(x^2-2x-3\right)}{5\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\le0$

⇔ $\frac{5x\ +\ 2x^2-4x-6}{5\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\le0$

⇔ $\frac{2x^2+x-6}{5\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\le0$ ... (2)

Dari pertidaksamaan (2), diketahui $f\left(x\right)=2x^2+x-6$ dan $g\left(x\right)=5\left(x-3\right)\left(x+1\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $2x^2+x-6=0$

⇔ $\left(2x-3\right)\left(x+2\right)=0$

⇔ $x=\frac{3}{2}$ atau $x=-2$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $5\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$

⇔ $x=3$ atau $x=-1$

Totalnya, ada empat nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari keempat titik pembuat nol tersebut. Nilai di setiap rentang dimasukkan ke pertidaksamaan (2)

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\le$, kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Misalkan pada $-2\le x<-1$, kita ambil nilai $x=-\frac{3}{2}$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{2\left(-\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)-6}{5\left(-\frac{3}{2}-3\right)\left(-\frac{3}{2}+1\right)}\le0$

⇔ $\frac{2\left(\frac{9}{4}\right)-\frac{3}{2}-6}{5\left(-\frac{9}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}\le0$

⇔ $\frac{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}-6}{5\left(\frac{9}{4}\right)}\le0$

⇔ $\frac{-3}{\frac{45}{4}}\le0$

⇔ $\frac{-12}{45}\le0$ ... (3)

Karena hasil di ruas kiri negatif, berarti rentang tersebut memang benar menghasilkan nilai negatif. Selain itu, karena pernyataan (3) sesuai, kita dapat menyimpulkan bahwa solusi di rentang ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi pertidaksamaannya adalah $-2\le x<-1$ atau $\frac{3}{2}\le x<3$.