Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(1-\frac{1}{x}\right)-3$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(1-\frac{1}{x}\right)-3$ ... (1)

⇔ $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(\frac{x-1}{x}\right)-3$

Jika kita misalkan $a=\frac{x-1}{x}$,

⇔ $a^2\le4a-3$

⇔ $a^2-4a+3\le0$

⇔ $\left(a-1\right)\left(a-3\right)\le0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$\left(a-1\right)\left(a-3\right)=0$

⇔ $a=1$ atau $a=3$

Pembuat nolnya adalah $1$ dan $3$. Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\le$, kita peroleh $1\le a\le3$.

$1\le a\le3$

Kembalikan permisalan seperti semula akan menjadi:

⇔ $1\le\frac{x-1}{x}\le3$ ... (3)

Jika bentuk pertidaksamaannya adalah dua pertidaksamaan dengan bentuk umum

$f\left(x\right)<g\left(x\right)<h\left(x\right)$

kita dapat memecahnya menjadi

$g\left(x\right)<h\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)>f\left(x\right)$

dan menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan. Solusi keseluruhan adalah irisan dari kedua solusi tersebut.

Pertidaksamaan (3) dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan, yaitu:

$\frac{x-1}{x}\le3$ dan $\frac{x-1}{x}\ge1$

Pertidaksamaan 1:

$\frac{x-1}{x}\le3$

⇔ $\frac{x-1}{x}-3\le0$

⇔ $\frac{x-1-3x}{x}\le0$

⇔ $\frac{-1-2x}{x}\le0$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$ akan menjadi:

⇔ $\frac{2x+1}{x}\ge0$

Pembuat nolnya adalah $-\frac{1}{2}$ dan $0$. Dengan cara yang sama, berarti solusinya adalah $x\le-\frac{1}{2}$ atau $x>0$.

Pertidaksamaan 2:

$\frac{x-1}{x}\ge1$

⇔$\frac{x-1}{x}-1\ge0$

⇔ $\frac{x-1-x}{x}\ge0$

⇔ $\frac{-1}{x}\ge0$

⇔ $\frac{1}{x}\le0$

Pembuat nolnya adalah $0$. Dengan cara yang sama, berarti solusinya adalah $x<0$.

Irisan dari kedua solusi tersebut adalah:

Jadi, solusinya adalah $x\le-\frac{1}{2}$.

Pembuktian:

Misalkan untuk rentang $x\le-\frac{1}{2}$, kita gunakan $x=-1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (3).

⇔ $1\le\frac{-1-1}{-1}\le3$

⇔ $1\le\frac{-2}{-1}\le3$

⇔ $1\le2\le3$ ... (4)

Pernyataan (4) benar. Dengan demikian, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.