Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilgan

Solusi dari pertidaksamaan (x1x)24(11x)3\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(1-\frac{1}{x}\right)-3 adalah ....

A

x12x\le-\frac{1}{2}

B

x12x\ge-\frac{1}{2}

C

x2x\ge2

D

x2x\le2

E

x12x\le-\frac{1}{2} atau x2x\ge2

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan (x1x)24(11x)3\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(1-\frac{1}{x}\right)-3

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

f(x)g(x)0, f(x)g(x)>0, f(x)g(x)<0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0 , atau f(x)g(x)0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

  1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
  2. Menyamakan penyebut
  3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
  4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu f(x)=0f\left(x\right)=0 dan g(x)=0g\left(x\right)=0. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
  5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

(x1x)24(11x)3\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(1-\frac{1}{x}\right)-3 ... (1)

(x1x)24(x1x)3\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\le4\left(\frac{x-1}{x}\right)-3

Jika kita misalkan a=x1xa=\frac{x-1}{x},

a24a3a^2\le4a-3

a24a+30a^2-4a+3\le0

(a1)(a3)0\left(a-1\right)\left(a-3\right)\le0 ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

(a1)(a3)=0\left(a-1\right)\left(a-3\right)=0

a=1a=1 atau a=3a=3

Pembuat nolnya adalah 11 dan 33. Karena tanda pertidaksamaannya adalah \le, kita peroleh 1a31\le a\le3.

1a31\le a\le3

Kembalikan permisalan seperti semula akan menjadi:

1x1x31\le\frac{x-1}{x}\le3 ... (3)

Jika bentuk pertidaksamaannya adalah dua pertidaksamaan dengan bentuk umum

f(x)<g(x)<h(x)f\left(x\right)<g\left(x\right)<h\left(x\right)

kita dapat memecahnya menjadi

g(x)<h(x)g\left(x\right)<h\left(x\right) dan g(x)>f(x)g\left(x\right)>f\left(x\right)

dan menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan. Solusi keseluruhan adalah irisan dari kedua solusi tersebut.

Pertidaksamaan (3) dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan, yaitu:

x1x3\frac{x-1}{x}\le3 dan x1x1\frac{x-1}{x}\ge1

Pertidaksamaan 1:

x1x3\frac{x-1}{x}\le3

x1x30\frac{x-1}{x}-3\le0

x13xx0\frac{x-1-3x}{x}\le0

12xx0\frac{-1-2x}{x}\le0

Kalikan kedua ruas dengan 1-1 akan menjadi:

2x+1x0\frac{2x+1}{x}\ge0

Pembuat nolnya adalah 12-\frac{1}{2} dan 00. Dengan cara yang sama, berarti solusinya adalah x12x\le-\frac{1}{2} atau x>0x>0.

Pertidaksamaan 2:

x1x1\frac{x-1}{x}\ge1

x1x10\frac{x-1}{x}-1\ge0

x1xx0\frac{x-1-x}{x}\ge0

1x0\frac{-1}{x}\ge0

1x0\frac{1}{x}\le0

Pembuat nolnya adalah 00. Dengan cara yang sama, berarti solusinya adalah x<0x<0.

Irisan dari kedua solusi tersebut adalah:

Jadi, solusinya adalah x12x\le-\frac{1}{2}.

Pembuktian:

Misalkan untuk rentang x12x\le-\frac{1}{2}, kita gunakan x=1x=-1 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (3).

111131\le\frac{-1-1}{-1}\le3

12131\le\frac{-2}{-1}\le3

1231\le2\le3 ... (4)

Pernyataan (4) benar. Dengan demikian, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Rasional Skor 3
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Rasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bab 5 | Bangun Datar | Matematika | Kelas 4

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal