Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Solusi dari pertidaksamaan x216<3\sqrt{x^2-16}<3 adalah ....

A

x4x\le-4 atau x4x\ge4

B

5<x4-5<x\le-4 atau 4x<54\le x<5

C

5<x<5-5<x<5

D

5<x<4-5<x<4

E

4x4-4\le x\le4

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x216<3\sqrt{x^2-16}<3

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan di atas memiliki bentuk f(x)<k\sqrt{f\left(x\right)}<k. Solusi dari pertidaksamaan dengan bentuk ini adalah irisan dari solusi dengan kondisi-kondisi berikut:

  1. Syarat akar f(x)0f\left(x\right)\ge0 (I)
  2. Kuadratkan kedua ruas menjadi f(x)<k2f\left(x\right)<k^2 (II)

Diketahui dari soal bahwa pertidaksamaannya adalah

x216<3\sqrt{x^2-16}<3 ... (1)

dengan f(x)=x216, k=3f\left(x\right)=x^2-16,\ k=3.

Kasus 1

Syarat akarnya adalah:

x2160x^2-16\ge0 ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x216=0x^2-16=0

Persamaan ini memiliki bentuk a2b2a^2-b^2. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai (ab)(a+b)\left(a-b\right)\left(a+b\right). Dari sini, dapat diketahui bahwa a=x, b=4a=x,\ b=4.

(x4)(x+4)=0\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0

x4=0x-4=0 x=4x=4 atau

x+4=0x+4=0 x=4x=-4

Pembuat nolnya adalah 4-4 dan 44. Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah \ge, solusi dari kasus ini adalah x4x\ge4 atau x4x\le4 ... (I).

Kasus 2

x216<32x^2-16<3^2

x216<9x^2-16<9

x225<0x^2-25<0 ... (3)

Cara yang dilakukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini sama dengan cara di kasus 1.

x225=0x^2-25=0

(x5)(x+5)=0\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0

x5=0x-5=0 x=5x=5 atau

x+5=0x+5=0 x=5x=-5

Pembuat nolnya adalah 5-5 dan 55. Karena tanda pertidaksamaan (3) adalah << , solusi dari kasus ini adalah 5<x<5-5<x<5 ... (II).

Solusi keseluruhan adalah irisan dari (I) dan (II, seperti yang ditunjukkan pada garis bilangan di bawah.

Jadi, solusinya adalah 5<x4-5<x\le-4 atau 4x<54\le x<5.

Pembuktian:

Untuk rentang 4x<54\le x<5, kita gunakan x=4x=4 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

4216<3\sqrt{4^2-16}<3

1616<3\sqrt{16-16}<3

0<30<3 ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal