Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-16}<3$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan di atas memiliki bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<k$. Solusi dari pertidaksamaan dengan bentuk ini adalah irisan dari solusi dengan kondisi-kondisi berikut:

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)<k^2$ (II)

Diketahui dari soal bahwa pertidaksamaannya adalah

$\sqrt{x^2-16}<3$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-16,\ k=3$.

Kasus 1

Syarat akarnya adalah:

$x^2-16\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-16=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x,\ b=4$.

⇔ $\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$

$x-4=0$ ⇔ $x=4$ atau

$x+4=0$ ⇔ $x=-4$

Pembuat nolnya adalah $-4$ dan $4$. Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$, solusi dari kasus ini adalah $x\ge4$ atau $x\le4$ ... (I).

Kasus 2

$x^2-16<3^2$

⇔ $x^2-16<9$

⇔ $x^2-25<0$ ... (3)

Cara yang dilakukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini sama dengan cara di kasus 1.

$x^2-25=0$

⇔ $\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0$

$x-5=0$ ⇔ $x=5$ atau

$x+5=0$ ⇔ $x=-5$

Pembuat nolnya adalah $-5$ dan $5$. Karena tanda pertidaksamaan (3) adalah $<$ , solusi dari kasus ini adalah $-5<x<5$ ... (II).

Solusi keseluruhan adalah irisan dari (I) dan (II, seperti yang ditunjukkan pada garis bilangan di bawah.

Jadi, solusinya adalah $-5<x\le-4$ atau $4\le x<5$.

Pembuktian:

Untuk rentang $4\le x<5$, kita gunakan $x=4$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{4^2-16}<3$

⇔ $\sqrt{16-16}<3$

⇔ $0<3$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.