Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Hambatan total dari dua komponen listrik yang disusun paralel adalah $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ dengan $R_1$ dan $R_2$ adalah hambatan masing-masing komponen (dalam ohm).

Jika diketahui $R_1$ adalah 20 ohm, berapakah batas nilai hambatan komponen kedua agar besar hambatan total kurang dari 15 ohm?

E

$0<R_2<15$

Pembahasan:

Diketahui:

$R_1=20$

$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}<15$

Ditanya:

Batas nilai $R_2$ ?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
Menyamakan penyebut
Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$ . Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{20R_2}{20+R_2}<15$ ... (1)

sehingga kita dapat lakukan langkah-langkah seperti di atas.

$\frac{20R_2}{20+R_2}-15<0$

⇔ $\frac{20R_2-15\left(20+R_2\right)}{20+R_2}<0$

⇔ $\frac{20R_2-300-15R_2}{20+R_2}<0$

⇔ $\frac{5R_2-300}{R_2+20}<0$ ... (2)

Dari sini, $f\left(R_2\right)=5R_2-300,\ g\left(R_2\right)=R_2+20$ .

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(R_2\right)=0$

$5R_2-300=0$ ⇔ $R_2=60$

$g\left(R_2\right)=0$

$R_2+20=0$ ⇔ $R_2=-20$

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ . Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$ , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-20<R_2<60$ , kita ambil $R_2=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{5\cdot0-300}{0+20}<0$

⇔ $\frac{-300}{20}<0$

⇔ $-15<0$ ... (3)

Ruas kiri negatif. Dengan demikian, rentang tersebut menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar, sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Karena hambatan tidak mungkin negatif atau sama dengan nol, jadi solusinya adalah $0<R_2<60$ .