Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $x+4>2\sqrt{4-x^2}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$. Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi akhir (*):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol jika tanda di soal $\le$. Jika $<$, cukup $g\left(x\right)>0$ ) (II)
3. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)<\left(g\left(x\right)\right)^2$ (III)

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$2\sqrt{4-x^2}<x+4$ ⇔ $\sqrt{4-x^2}<\frac{x+4}{2}$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=4-x^2,\ g\left(x\right)=\frac{x+4}{2}$.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Kasus 1

$4-x^2\ge0$

⇔ $x^2-4\le0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-4=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x,\ b=2$.

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x-2=0$ ⇔ $x=2$ atau

$x+2=0$ ⇔ $x=-2$

Pembuat nolnya adalah $-2$ dan $2$. Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\le$, solusinya adalah $-2\le x\le2$ (I).

Kasus 2

$\frac{x+4}{2}>0$

$x+4>0$ ⇔ $x>-4$ ... (II)

Kasus 3

$4-x^2<\left(\frac{x+4}{2}\right)^2$

⇔ $4-x^2<\frac{1}{4}\left(x^2+8x+16\right)$

⇔ $4-x^2<\frac{1}{4}x^2+2x+4$

⇔ $0<\frac{5}{4}x^2+2x$

⇔ $0<5x^2+8x$

⇔ $5x^2+8x>0$ ... (3)

Pertidaksamaan (3) juga diselesaikan dengan cara yang sama dengan pertidaksamaan (2).

$5x^2+8x=0$

⇔ $x\left(5x+8\right)=0$

⇔ $x=0$ atau $x=-\frac{8}{5}$

Pembuat nolnya adalah $0$ dan $-\frac{8}{5}$. Karena tanda pertidaksamaannya adalah $>$, solusinya adalah $x<-\frac{8}{5}$ atau $x>0$ (II).

Solusi (*) adalah irisan dari solusi (I), (II), dan (III). Garis bilangan yang menunjukkan irisan ketiganya dapat dilihat di gambar berikut.

Jadi, solusinya adalah $-2\le x<-\frac{8}{5}$ atau $0<x\le2$.

Pembuktian:

Untuk rentang $0<x\le2$, kita gunakan $x=1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{4-x^2}<\frac{x+4}{2}$

⇔ $\sqrt{4-1^2}<\frac{1+4}{2}$

⇔ $\sqrt{3}<\frac{5}{2}$ ... (4)

Pernyataan (4) benar. Jadi, solusi terbukti memenuhi pertidaksamaan.