Bank Soal Matematika SMA Kedudukan Titik dan Garis pada Lingkaran

Diketahui:

lingkaran $\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=64$

titik $A\left(3,5\right)$

Ditanya:

Jarak terdekat $=?$

Jawab:

Rumus umum jarak suatu titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran 

1. Jika titik berada pada lingkaran maka

• Jarak $=0$

2. Jika titik berada di luar lingkaran maka

• Jarak terjauh $=\sqrt{\left(PA\right)^2-r^2}$
• Jarak terdekat $=PA-r$

3. Jika titik berada di dalam lingkaran maka

• Jarak terjauh $=PA+r$
• Jarak terdekat $=r-PA$

dengan $PA$ adalah jarak titik dengan pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari.

Posisi titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

Ada tiga jenis posisi titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

1. Titik berada pada lingkaran jika $K=r^2$
2. Titik berada di luar lingkaran jika $K>r^2$
3. Titik berada di dalam lingkaran jika $K<r^2$

dengan $K=\left(p-a\right)^2+\left(q-b\right)^2$

Sehingga, pertama cari tahu posisi titik $\left(3,5\right)$ pada lingkaran $\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=64$

$K=\left(3-4\right)^2+\left(5+2\right)^2$

$K=\left(-1\right)^2+\left(7\right)^2$

$K=1+49$

$K=50$

$K<64$

maka titik berada di dalam lingkaran.

Diketahui lingkaran $\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=64$ sehingga titik pusatnya $\left(4,-2\right)$ dan jari-jarinya $8$

Selanjutnya, mencari jarak terdekat titik $A\left(3,5\right)$ pada lingkaran $\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=64$

Karena titik berada di dalam lingkaran maka menggunakan rumus $r-PA$

Terlebih dahulu cari $PA$ yaitu jarak titik dengan pusat lingkaran

$PA=\sqrt{\left(3-4\right)^2+\left(5-\left(-2\right)\right)^2}$

$=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(7\right)^2}$

$=\sqrt{1+49}$

$=\sqrt{50}$

$=5\sqrt{2}$

Sehingga,

$r-PA=8-5\sqrt{2}$