Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan$\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}\ge\frac{1}{x-2}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}\ge\frac{1}{x-2}$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}-\frac{1}{x-2}\ge0$

⇔ $\frac{2\left(x-3\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0$

⇔ $\frac{2\left(x^2-5x+6\right)-\left(x^2-11x+10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0$

⇔ $\frac{2x^2-10x+12-\left(x^2-11x+10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0$

⇔ $\frac{x^2+x+2}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0$ ... (2)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=x^2+x+2$ dan $g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

$f\left(x\right)=0$

$x^2+x+2=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=1,\ c=2$ .

$D=1^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7\ <0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi.

$g\left(x\right)=0$

⇔ $\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)=0$

$x-1=0$ ⇔ $x=1$ atau

$x-10=0$ ⇔ $x=10$ atau

$x-2=0$ ⇔ $x=2$

Totalnya, ada tiga nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut. Nilai tersebut dimasukkan ke pertidaksamaan (2). Ketiga titik tersebut tidak dibulatkan penuh karena penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Karena tanda pertidaksamaan adalah $\ge$, kita ambil nilai yang positif.

Pembuktian:

Dengan rentang $x>10$, kita ambil $x=11$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{11^2+11+2}{\left(11-1\right)\left(11-2\right)\left(11-10\right)}\ge0$

⇔ $\frac{121+11+2}{\left(10\right)\left(9\right)\left(1\right)}\ge0$

⇔ $\frac{134}{90}\ge0$ ... (3)

Ruas kiri bernilai positif. Dengan demikian, rentang tersebut benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah $1<x<2$ atau $x>10$.