Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilgan

Tentukan solusi dari pertidaksamaan 2(x3)(x1)(x10)1x2\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}\ge\frac{1}{x-2} !

A

1<x<21<x<2 atau x>10x>10

B

x<1x<1 atau 2<x<102<x<10

C

x<1x<1 atau x>10x>10

D

1<x<101<x<10

E

xx\in\Re

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan2(x3)(x1)(x10)1x2\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}\ge\frac{1}{x-2}

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

f(x)g(x)0, f(x)g(x)>0, f(x)g(x)<0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0 , atau f(x)g(x)0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

  1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
  2. Menyamakan penyebut
  3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
  4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu f(x)=0f\left(x\right)=0 dan g(x)=0g\left(x\right)=0. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
  5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

2(x3)(x1)(x10)1x2\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}\ge\frac{1}{x-2} ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

2(x3)(x1)(x10)1x20\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)}-\frac{1}{x-2}\ge0

2(x3)(x2)(x1)(x10)(x1)(x10)(x2)0\frac{2\left(x-3\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0

2(x25x+6)(x211x+10)(x1)(x10)(x2)0\frac{2\left(x^2-5x+6\right)-\left(x^2-11x+10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0

2x210x+12(x211x+10)(x1)(x10)(x2)0\frac{2x^2-10x+12-\left(x^2-11x+10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0

x2+x+2(x1)(x10)(x2)0\frac{x^2+x+2}{\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)}\ge0 ... (2)

Dari sini, diketahui f(x)=x2+x+2f\left(x\right)=x^2+x+2 dan g(x)=(x1)(x10)(x2)g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right).

Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

f(x)=0f\left(x\right)=0

x2+x+2=0x^2+x+2=0

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan D=b24acD=b^2-4ac dengan a=1, b=1, c=2a=1,\ b=1,\ c=2 .

D=12412=18=7 <0D=1^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7\ <0

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi.

g(x)=0g\left(x\right)=0

(x1)(x10)(x2)=0\left(x-1\right)\left(x-10\right)\left(x-2\right)=0

x1=0x-1=0 x=1x=1 atau

x10=0x-10=0 x=10x=10 atau

x2=0x-2=0 x=2x=2

Totalnya, ada tiga nilai pembuat nol di f(x)g(x)\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut. Nilai tersebut dimasukkan ke pertidaksamaan (2). Ketiga titik tersebut tidak dibulatkan penuh karena penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Karena tanda pertidaksamaan adalah \ge, kita ambil nilai yang positif.

Pembuktian:

Dengan rentang x>10x>10, kita ambil x=11x=11 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

112+11+2(111)(112)(1110)0\frac{11^2+11+2}{\left(11-1\right)\left(11-2\right)\left(11-10\right)}\ge0

121+11+2(10)(9)(1)0\frac{121+11+2}{\left(10\right)\left(9\right)\left(1\right)}\ge0

134900\frac{134}{90}\ge0 ... (3)

Ruas kiri bernilai positif. Dengan demikian, rentang tersebut benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah 1<x<21<x<2 atau x>10x>10.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Rasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Rasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal