Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $x+5-\sqrt{25-10x+x^2}\le\ 2x$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan ?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$x+5-\sqrt{25-10x+x^2}\le\ 2x$ ... (1)

Kita ubah pertidaksamaan (1) ke bentuk umum seperti ini

⇔ $x+5-2x\le\sqrt{25-10x+x^2}$

⇔ $5-x\le\sqrt{25-10x+x^2}$ ... (2)

Di sini, terlihat bahwa ${f\left(x\right)}=\ 5-x$ dan $\sqrt{g\left(x\right)}=\ \sqrt{x^2-10x+25}$.

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $g\left(x\right)$

$g\left(x\right)\ge0$

⇔ $x^2-10x+25\ge0$ ... (3)

Pertidaksamaan (3) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (3) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (3), diperoleh

$x^2-10x+25=0$

⇔ $\left(x-5\right)^2=0$

$\left(x-5\right)^2=0$ ⇔ $x=5$ (ada dua titik yang bernilai 5)

Pembuat nolnya adalah $5$. Jika dibuat garis bilangan dan dicek tandanya:

atau berarti $x\in\Re$ (*)

Setelah menyelesaikan syarat akar, kita kuadratkan pertidaksamaan (2) di kedua ruas menjadi

⇔ $\left(5-x\right)^2\le\left(\sqrt{x^2-10x+25}\right)^2$

⇔ $25-10x+x^2\le x^2-10x+25$ ... (4)

Perhatikan pertidaksamaan (4). Ruas kanan dan kiri memiliki suku yang sama. Dalam artian, untuk berapapun nilai $x$ riil, nilai kedua ruas akan tetap sama dengan ruas yang lain. Jadi kondisi ini memiliki solusi $x\in\Re$ (**).

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*) dan (**). Keduanya memiliki jawaban yang sama. Jadi, solusi pertidaksamaannya adalah $x\in\Re$.