Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x+52510x+x2 2xx+5-\sqrt{25-10x+x^2}\le\ 2x!

A

x5x\ge5

B

xx\in\Re

C

x5x\le5

D

{}

E

x10x\ge10

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x+52510x+x2 2xx+5-\sqrt{25-10x+x^2}\le\ 2x

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan ?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

f(x)g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x), \sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\ maupun f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

  1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu f(x)0f\left(x\right)\ge0 dan g(x)0g\left(x\right)\ge0
  2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
  3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

x+52510x+x2 2xx+5-\sqrt{25-10x+x^2}\le\ 2x ... (1)

Kita ubah pertidaksamaan (1) ke bentuk umum seperti ini

x+52x2510x+x2x+5-2x\le\sqrt{25-10x+x^2}

5x2510x+x25-x\le\sqrt{25-10x+x^2} ... (2)

Di sini, terlihat bahwa f(x)= 5x{f\left(x\right)}=\ 5-x dan g(x)= x210x+25\sqrt{g\left(x\right)}=\ \sqrt{x^2-10x+25}.

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk g(x)g\left(x\right)

g(x)0g\left(x\right)\ge0

x210x+250x^2-10x+25\ge0 ... (3)

Pertidaksamaan (3) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (3) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (3), diperoleh

x210x+25=0x^2-10x+25=0

(x5)2=0\left(x-5\right)^2=0

(x5)2=0\left(x-5\right)^2=0 x=5x=5 (ada dua titik yang bernilai 5)

Pembuat nolnya adalah 55. Jika dibuat garis bilangan dan dicek tandanya:

atau berarti xx\in\Re (*)

Setelah menyelesaikan syarat akar, kita kuadratkan pertidaksamaan (2) di kedua ruas menjadi

(5x)2(x210x+25)2\left(5-x\right)^2\le\left(\sqrt{x^2-10x+25}\right)^2

2510x+x2x210x+2525-10x+x^2\le x^2-10x+25 ... (4)

Perhatikan pertidaksamaan (4). Ruas kanan dan kiri memiliki suku yang sama. Dalam artian, untuk berapapun nilai xx riil, nilai kedua ruas akan tetap sama dengan ruas yang lain. Jadi kondisi ini memiliki solusi xx\in\Re (**).

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*) dan (**). Keduanya memiliki jawaban yang sama. Jadi, solusi pertidaksamaannya adalah xx\in\Re.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal