Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-20}\le\ x-5$

Ditanya:

Rentang nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\sqrt{x^2-20}\le\ x-5$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-20$ dan $g\left(x\right)=x-5$.

Karena yang di dalam akar adalah $f\left(x\right)$, kita gunakan syarat akar untuk fungsi tersebut

$f\left(x\right)\ge0$

⇔ $x^2-20\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-20=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x$ dan $b=\sqrt{20}$. Diperoleh

$x^2-20=0$

⇔ $\left(x-\sqrt{20}\right)\left(x+\sqrt{20}\right)=0$

$x-\sqrt{20}=0$ ⇔ $x=\sqrt{20}$

$x+\sqrt{20}=0$ ⇔ $x=-\sqrt{20}\$

Pembuat nolnya adalah $-\sqrt{20}\$ dan $\sqrt{20}\$ dengan $-\sqrt{20}<\sqrt{20}\$. Tanda pertidaksamaan adalah $\ge$ sehingga $x\ge\sqrt{20}$ atau $x\le-\sqrt{20}$. (*)

Setelah menyelesaikan tahap syarat akar, kita kuadratkan kedua ruas di pertidaksamaan awal, lalu mencari penyelesaiannya.

$\left(\sqrt{x^2-20}\right)^2\le\ \left(x-5\right)^2$

⇔ $x^2-20\le\ x^2-10x+25$

⇔ $10x-45\le0$ ... (3)

⇔ $10x\le45$

⇔ $x\le\frac{45}{10}$

⇔ $x\le\frac{9}{2}$ (**)

Dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}\le g\left(x\right)$, ada satu syarat lagi yang harus dipenuhi. Nilai dari $g\left(x\right)\ge0$. Hal ini karena $\sqrt{f\left(x\right)}\ge0$, sehingga tidak mungkin $g\left(x\right)$ bernilai negatif.

$g\left(x\right)\ge0$

$x-5\ge0$ ⇔ $x\ge5$

Garis bilangan dari (*), (**), dan (***) adalah

Tidak ada daerah yang beririsan dari ketiga garis bilangan tersebut. Dengan demikian, tidak ada solusi yang memenuhi.