Bank Soal Matematika SMA Jarak pada Bangun Ruang

Diketahui:

$r=16\ \text{cm}$

Titik $P,\ Q,\ R,\ S,\ T,$ dan $U$ adalah titik tengah pada ruas-ruas kubus.

Ditanya:

Jarak antara bidang $PQR$ dan $STU$.

Dijawab:

Bidang $PQR$ dan $STU$, keduanya berpotongan di bidang $BDHF$, sehingga untuk mengetahui jarak antara kedua bidang akan lebih mudah jika melihatnya dari bidang tersebut.

Garis $R'R$ mewakili segitiga $PQR$ dan garis $UU'$ mewakili segitiga $STU$. Jarak antara keduanya dapat diketahui dari garis yang tegak lurus terhadap kedua bidang, yaitu garis $DF$, dikurangi dengan panjang ruas t₁ dan t₂.

• Panjang $DB$

$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}$

$=\sqrt{16^2+16^2}$

$=\sqrt{256+256}$

$=\sqrt{512}$

$=16\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Panjang $R'R$ $=$ $UU'$

$R'R=\sqrt{R'F^2+FR^2}$

$=\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2+8^2}$

$=\sqrt{32+64}$

$=\sqrt{96}$

$=\sqrt{16\times6}$

$=4\sqrt{6}\ \text{cm}$

• Panjang t₁ dan t₂

Luas segitiga dengan alas $R'F$ = Luas segitiga dengan alas $R'R$

$\frac{1}{2}\times R'F\times FR=\frac{1}{2}\times R'R\times t$

$t=\frac{R'F\times FR}{R'R}$

$t=\frac{4\sqrt{2}\times8}{4\sqrt{6}}$

$t=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$t=\frac{8\sqrt{12}}{6}$

$t=\frac{8}{3}\sqrt{3}$

• Panjang $DF$

$DF=\sqrt{DB^2+BF^2}$

$=\sqrt{\left(16\sqrt{2}\right)^2+16^2}$

$=\sqrt{512+256}$

$=\sqrt{768}$

$=16\sqrt{3}\ \text{cm}$

• Jarak bidang $PQR$ dan $STU$

$=DF-\left(t\text{1}+t\text{2}\right)$

$=16\sqrt{3}-\left(\frac{8}{3}\sqrt{3}+\frac{8}{3}\sqrt{3}\right)$

$=16\sqrt{3}-\left(\frac{16}{3}\sqrt{3}\right)$

$=\frac{48}{3}\sqrt{3}-\left(\frac{16}{3}\sqrt{3}\right)$

$=\frac{32}{3}\sqrt{3}\ \text{cm}$

Jadi, jarak antara bidang $PQR$ dan $STU$ adalah $\frac{32}{3}\sqrt{3}\ \text{cm}$.