Bank Soal Matematika SMA Aljabar Vektor

Diketahui:

Vektor $\vec{a}=y\vec{i}-\vec{j}+\vec{k},\ \vec{b}=3\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k},$ dan $\vec{c}=\vec{i}+\vec{j}-4\vec{k}$ serta $\vec{a}\bot\vec{b}$

Ditanya:

Hasil dari $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{a}\right)$?

Jawab:

Perlu diingat definisi perkalian skalar vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ yaitu

$\vec{p}\cdot\vec{q}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{q}\right|\cos\theta$

dengan $\theta$ adalah sudut yang diapit oleh vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$.

Pada soal diketahui $\vec{a}\bot\vec{b}$ atau $\vec{a}$ tegak lurus dengan $\vec{b}$ artinya sudut yang diapit vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\theta=90\degree$ dengan $\cos\theta=\cos90\degree=0$ sehingga

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cos\theta$

$\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|0$

$\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Selain itu, perkalian skalar antara vektor $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$ dan $\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$ juga didefinisikan sebagai

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

sehingga didapat

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

$\Leftrightarrow\left(y\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\right)\cdot\left(3\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}\right)=0$

$\Leftrightarrow y.3+\left(-1\right).2+1\left(-1\right)=0$

$\Leftrightarrow3y-2-1=0$

$\Leftrightarrow3y-3=0$

$\Leftrightarrow3y=3$

$\Leftrightarrow y=\frac{3}{3}$

$\Leftrightarrow y=1$

Artinya $\vec{a}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ dan diperoleh

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}+3\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$

$\Leftrightarrow\vec{a}+\vec{b}=\vec{i}+3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{j}+\vec{k}-\vec{k}$

$\Leftrightarrow\vec{a}+\vec{b}=4\vec{i}+\vec{j}$

dan

$\vec{c}-\vec{a}=\left(\vec{i}+\vec{j}-4\vec{k}\right)-\left(\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\right)$

$\Leftrightarrow\vec{c}-\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}-4\vec{k}-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$

$\Leftrightarrow\vec{c}-\vec{a}=\vec{i}-\vec{i}+\vec{j}+\vec{j}-4\vec{k}-\vec{k}$

$\Leftrightarrow\vec{c}-\vec{a}=2\vec{j}-5\vec{k}$

Dengan demikian

$\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{a}\right)=\left(4\vec{i}+\vec{j}\right)\cdot\left(2\vec{j}-5\vec{k}\right)$

$\Leftrightarrow\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{a}\right)=4.0+1.2+0\left(-5\right)$

$\Leftrightarrow\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{a}\right)=2$