Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan Nilai Mutlak

Jika $\left|f\left(x\right)\right|\ge a$ maka $f^2\left(x\right)\ge a^2$

Dengan demikian,

$\left|\frac{x+4}{12-3x}\right|\ge3$

$\left(\frac{x+4}{12-3x}\right)^2\ge3^2$

$\frac{\left(x+4\right)^2}{\left(12-3x\right)^2}\ge9$

$\left(x+4\right)^2\ge9\left(12-3x\right)^2$

$x^2+8x+16\ge9\left(144-72x+9x^2\right)$

$x^2+8x+16\ge1.296-648x+81x^2$

$-80x^2+656x-1.280\ge0$

$\left(-8x+40\right)\left(10x-32\right)\ge0$

Selanjutnya kita uraikan menjadi:

$\left(-8x+40\right)\ge0$ atau $\left(10x-32\right)\ge0$

$-8x\ge-40$, dikali dengan -1, sehingga tanda berubah menjadi lawannya, atau

$10x\ge32$

$8x\le40$ atau $10x\ge32$

$x\le\frac{40}{8}$ atau $x\ge\frac{32}{10}$

$x\le5$ atau $x\ge\frac{16}{5}$

Dalam garis bilangan, himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Pembuktian:

1) Untuk $x=5$

$\left|\frac{x+4}{12-3x}\right|\ge3$

$\left|\frac{5+4}{12-3\left(5\right)}\right|\ge3$

$\left|\frac{9}{-3}\right|\ge3$

$\left|-3\right|\ge3$

$-\left(-3\right)\ge3$

$3\ge3$ (benar)

2) Untuk $x=\frac{16}{5}$

$\left|\frac{x+4}{12-3x}\right|\ge3$

$\left|\frac{\left(\frac{16}{5}\right)+4}{12-3\left(\frac{16}{5}\right)}\right|\ge3$

$\left|\frac{\left(\frac{16}{5}\right)+\left(\frac{20}{5}\right)}{\frac{60}{5}-\frac{48}{5}}\right|\ge3$

$\left|\frac{\frac{36}{5}}{\frac{12}{5}}\right|\ge3$

$\left|\frac{36}{5}\times\frac{5}{12}\right|\ge3$

$\left|\frac{36}{12}\right|\ge3$

$\left|3\right|\ge3$

$3\ge3$ (benar)

3) Untuk $x=0$

$\left|\frac{x+4}{12-3x}\right|\ge3$

$\left|\frac{0+4}{12-3\left(0\right)}\right|\ge3$

$\left|\frac{4}{12}\right|\ge3$

$\frac{4}{12}\ge3$

$\frac{1}{3}\ge3$ (salah)

Dari pembuktian di atas, untuk $x=0$ tidak memenuhi.

Jadi, HP $=\left\{x\mid x\le5\text{ atau}\ x\ge\frac{16}{5}\right\}$