Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Logaritma

Uraikan pertidaksamaan agar basis kedua ruas menjadi sama dengan menggunakan sifat logaritma $^a\log1=0$

$\Leftrightarrow^{\frac{1}{2}}\log\left(x+2\sqrt{2}\right)+^{\frac{1}{2}}\log\left(x-2\sqrt{2}\right)>0$

$\Leftrightarrow^{\frac{1}{2}}\log\left(x+2\sqrt{2}\right)+^{\frac{1}{2}}\log\left(x-2\sqrt{2}\right)>^{\frac{1}{2}}\log1$

Sederhanakan peridaksamaan dengan sifat logaritma $^a\log b+^a\log c=^a\log b\times c$

$\Leftrightarrow^{\frac{1}{2}}\log\left(x+2\sqrt{2}\ \right)\left(x-2\sqrt{2}\right)>^{\frac{1}{2}}\log1$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, maka ada syarat yang harus dipenuhi sebagai berikut:

(i) Syarat numerous logaritma

Bentuk pertidaksamaan logaritma adalah $^a\log f\left(x\right)+^a\log g\left(x\right)>^a\log1$ , maka $f\left(x\right)>0$ dan $g\left(x\right)>0$

$\Leftrightarrow x+2\sqrt{2}>0$

$\Leftrightarrow x>-2\sqrt{2}$

dan

$\Leftrightarrow x-2\sqrt{2}>0$

$\Leftrightarrow x>2\sqrt{2}$

Jadi, $x>-2\sqrt{2}\ dan\ x>2\sqrt{2}\ \ \ ...\ \left(1\right)$

(ii) Syarat pertidaksamaan

Bentuk pertidaksamaan logaritma adalah $^a\log f\left(x\right)+^a\log g\left(x\right)>^a\log1$ dimana $0<a<1$ maka $f\left(x\right)+g\left(x\right)<1$

$\Leftrightarrow\left(x+2\sqrt{2}\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)<1$

$\Leftrightarrow x^2-8<1$

$\Leftrightarrow x^2-8-1<0$

$\Leftrightarrow x^2-9<0$

$\Leftrightarrow\ \left(x+3\right)\left(x-3\right)<0\$

Jadi,$-3\ <\ x<3\ \ \ ...\left(2\right)$

(iii) Dari irisan persamaan (1) dan (2), diperoleh

Jadi, nilai $x$ adalah $2\sqrt{2}<x<3$