Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Penyelesaian dari pertidaksamaan x4x+1>1\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1 adalah ....

A

x<1x<-1

B

1<x<4-1<x<4

C

x4x\ge4

D

x1x\le-1

E

x>4x>4

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x4x+1>1\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1

Ditanya:

Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

f(x)g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x), \sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\ maupun f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

  1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu f(x)0f\left(x\right)\ge0 dan g(x)0g\left(x\right)\ge0
  2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
  3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

x4x+1>1\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1 . . . (1)

artinya f(x)=x4x+1f\left(x\right)=\frac{x-4}{x+1} dan g(x)=1g\left(x\right)=1

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

f(x)0f(x)\ge0

x4x+10\Leftrightarrow \frac{x-4}{x+1}\ge0 . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan rasional linear. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear mempunyai bentuk umum

ax+bcx+d<n, ax+bcx+dn, ax+bcx+d>,\frac{ax+b}{cx+d}<n,\ \frac{ax+b}{cx+d}\le n,\ \frac{ax+b}{cx+d}>, atau ax+bcx+dn\frac{ax+b}{cx+d}\ge n

dengan a, b, c, d, dan na,\ b,\ c,\ d,\text{ dan }n merupakan bilangan.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear adalah dengan

  1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
  2. Mencari nilai xx yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (2), didapat

x4x+1=0\frac{x-4}{x+1}=0

Untuk pembilang diperoleh

x4=0x=4x-4=0 \Leftrightarrow x=4

Untuk penyebut diperoleh

x+1=0x=1x+1=0 \Leftrightarrow x=-1

Karena x=1x=-1 diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka x=1x=-1 tidak memenuhi pertidaksamaan (2).

Untuk x<1x<-1, maka x4x-4 selalu negatif dan x+1x+1 selalu negatif, sehingga x4x+1\frac{x-4}{x+1} selalu positif.

Untuk 1<x4-1<x\le4, maka x4x-4 selalu negatif dan x+1x+1 selalu positif, sehingga x4x+1\frac{x-4}{x+1} selalu negatif.

Untuk x4x\ge4, maka x4x-4 selalu positif dan x+1x+1 selalu positif, sehingga x4x+1\frac{x-4}{x+1} selalu positif.

Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah \ge, maka solusinya haruslah yang menghasilkan nilai positif, yaitu x<1x<-1 atau x4x\ge4 . . . (3)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

(x4x+1)2>12\left(\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}\right)^2>1^2

x4x+1>1\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+1}>1

x4x+11>0\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+1}-1>0

x4x+1x+1x+1>0\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}>0

x4(x+1)x+1>0\Leftrightarrow\frac{x-4-\left(x+1\right)}{x+1}>0

x4x1x+1>0\Leftrightarrow\frac{x-4-x-1}{x+1}>0

xx41x+1>0\Leftrightarrow\frac{x-x-4-1}{x+1}>0

5x+1>0\Leftrightarrow\frac{-5}{x+1}>0 . . . (4)

Pertidaksamaan (4) merupakan pertidaksamaan rasional linear. Akan dicari harga nol pertidaksamaan tersebut. Didapat

5x+1=0\frac{-5}{x+1}=0

Untuk penyebut diperoleh

x+1=0x=1x+1=0\Leftrightarrow x=-1

Harga nol pertidaksamaan (4) adalah x=1x=-1. Karena diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka x=1x=-1 tidak memenuhi pertidaksamaan (4).

Untuk x<1x<-1, diperoleh x+1x+1 selalu negatif, sehingga 5x+1\frac{-5}{x+1} selalu positif

Untuk x>1x>-1, diperoleh x+1x+1 selalu positif, sehingga 5x+1\frac{-5}{x+1} selalu negatif

Karena tanda pertidaksamaan (4) adalah >>, maka solusinya haruslah yang menghasilkan nilai positif, yaitu x<1x<-1 . . . (5)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (3) dan (5). Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan x4x+1>1\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1 adalah x<1x<-1

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 3
Matematika Wajib LOTS Teknik Hitung
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bab 5 | Bangun Datar | Matematika | Kelas 4

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal