Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1$

Ditanya:

Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=\frac{x-4}{x+1}$ dan $g\left(x\right)=1$

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

$f(x)\ge0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{x+1}\ge0$ . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan rasional linear. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear mempunyai bentuk umum

$\frac{ax+b}{cx+d}<n,\ \frac{ax+b}{cx+d}\le n,\ \frac{ax+b}{cx+d}>,$ atau $\frac{ax+b}{cx+d}\ge n$

dengan $a,\ b,\ c,\ d,\text{ dan }n$ merupakan bilangan.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (2), didapat

$\frac{x-4}{x+1}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x-4=0 \Leftrightarrow x=4$

Untuk penyebut diperoleh

$x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$

Karena $x=-1$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=-1$ tidak memenuhi pertidaksamaan (2).

Untuk $x<-1$, maka $x-4$ selalu negatif dan $x+1$ selalu negatif, sehingga $\frac{x-4}{x+1}$ selalu positif.

Untuk $-1<x\le4$, maka $x-4$ selalu negatif dan $x+1$ selalu positif, sehingga $\frac{x-4}{x+1}$ selalu negatif.

Untuk $x\ge4$, maka $x-4$ selalu positif dan $x+1$ selalu positif, sehingga $\frac{x-4}{x+1}$ selalu positif.

Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$, maka solusinya haruslah yang menghasilkan nilai positif, yaitu $x<-1$ atau $x\ge4$ . . . (3)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}\right)^2>1^2$

$\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+1}>1$

$\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+1}-1>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-4-\left(x+1\right)}{x+1}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-4-x-1}{x+1}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-x-4-1}{x+1}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-5}{x+1}>0$ . . . (4)

Pertidaksamaan (4) merupakan pertidaksamaan rasional linear. Akan dicari harga nol pertidaksamaan tersebut. Didapat

$\frac{-5}{x+1}=0$

Untuk penyebut diperoleh

$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$

Harga nol pertidaksamaan (4) adalah $x=-1$. Karena diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=-1$ tidak memenuhi pertidaksamaan (4).

Untuk $x<-1$, diperoleh $x+1$ selalu negatif, sehingga $\frac{-5}{x+1}$ selalu positif

Untuk $x>-1$, diperoleh $x+1$ selalu positif, sehingga $\frac{-5}{x+1}$ selalu negatif

Karena tanda pertidaksamaan (4) adalah $>$, maka solusinya haruslah yang menghasilkan nilai positif, yaitu $x<-1$ . . . (5)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (3) dan (5). Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}>1$ adalah $x<-1$