Bank Soal Matematika SMA Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Diketahui $P\left(n\right)\ :\ (n+1)^2<3n^2$.

Untuk $n=1$ diperoleh $P\left(1\right)$ yaitu

$\left(n+1\right)^2=\left(1+1\right)^2=2^2=4$

dan

$4>3=3.1^2=3n^2$

Artinya, $P\left(n\right)$ tidak benar untuk $n=1$.

Selanjutnya, untuk setiap $n\ge2$ akan dibuktikan kebenaran dari $P\left(n\right)$ dengan menggunakan induksi matematika.

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$, dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$.
2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Sebelum dilakukan pembuktian, perlu diingat sifat operasi aljabar berikut:

sifat transitif

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $a<b<c\Leftrightarrow a<c$

Langkah-langkah pembuktian tersebut adalah

Basis induksi:

Akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=2$

Diperhatikan bahwa

$\left(n+1\right)^2=\left(2+1\right)^2=3^2=9$

dan

$9<12=3.4=3.2^2=3.n^2$

Artinya, terbukti bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=2$

Langkah induksi:

Diandaikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, yaitu

$\left(k+1\right)^2<3k^2$.

Akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$, yaitu akan dibuktikan benar bahwa

$\left(\left(k+1\right)+1\right)^2<3\left(k+1\right)^2$

Diperhatikan bahwa

$\left(k+1\right)^2<3k^2$

$k^2+2k+1<3k^2$

Agar ruas kiri menjadi $\left(k+2\right)^2$ atau $k^2+4k+4$, maka kedua ruas perlu ditambahkan dengan $2k+3$, sehingga menjadi

$k^2+2k+1+2k+3<3k^2+2k+3$

$k^2+2k+2k+1+3<3k^2+2k+3$

$k^2+4k+4<3k^2+2k+3$

Agar ruas kanan menjadi $3\left(k+1\right)^2$ atau $3\left(k^2+2k+1\right)=3k^2+6k+3$, maka pada ruas kiri $2k$ perlu dibandingkan dengan $6k$.

Karena $2k<6k$ didapat

$k^2+4k+4<3k^2+2k+3<3k^2+6k+3$

berdasarkan sifat transitif diperoleh

$k^2+4k+4<3k^2+6k+3$

$k^2+4k+4<3\left(k^2+2k+1\right)$

$\left(k+2\right)^2<3\left(k+1\right)^2$

$\left(\left(k+1\right)+1\right)^2<3\left(k+1\right)^2$

Artinya, terbukti bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Oleh karena itu, berdasarkan induksi matematika, ketidaksamaan $P\left(n\right)$ benar untuk setiap bilangan asli $n\ge2$.

Jadi, pernyataan yang salah pada pilihan jawaban adalah $P\left(n\right)$ benar untuk $n=1$