Bank Soal Matematika SMA Fungi Naik, Fungsi Turun, Nilai Stasioner

Diketahui: $y=x^3-12x-8$ selalu turun pada interval $\left(a,b\right)$

Ditanya: Nilai dari $a+b-ab$

Dijawab:

Jika $y=h\left(x\right)=kx^n$, di mana$$$$ $k,n\in R$ dan $k\ne0$, maka turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=h'\left(x\right)=knx^{n-1}$

Fungsi dikatakan selalu turun pada interval $(a,b)$ jika memenuhi syarat $h'\left(x\right)<0$. Sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu nilai $h'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan titik stasioner $x$.

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y'=h'(x)=\left(1\times3\right)x^{3-1}-\left(12\times1\right)x^{1-1}$

$h'(x)=3x^2-12$

$h'\left(x\right)=0$

$3x^2-12=0$

$3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\ \Rightarrow\ x=-2\ \text{atau}\ x=2$

Jadi, fungsi $h$ stasioner di titik $x=-2$ dan $x=2$.

Nilai $h'\left(x\right)$ di sekitar $x=-2$ dan $x=2$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<-2$:

Ambil nilai $x=-3$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-3\right)=3\left(3\right)^2-12$

$=3\left(9\right)-12$

$=27-12$

$=15$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

• Untuk $-2<x<2$:

Ambil nilai $x=0$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(0\right)=3\left(0\right)^2-12=-12$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

• Untuk $x>2$:

Ambil nilai $x=3$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(3\right)=3\left(3\right)^2-12$

$=3\left(9\right)-12$

$=27-12$

$=15$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

Berdasarkan hasil uji titik di atas, dapat disimpulkan bahwa kurva $y=h\left(x\right)$ selalu turun pada interval $\left(-2,2\right)$.

Pada soal disebutkan bahwa fungsi selalu turun pada interval $\left(a,b\right)$, sehingga diperoleh nilai $a=-2$ dan $b=2$

Menentukan nilai $a+b-ab$ :

$a+b-ab=\left(-2\right)+2-\left(-2\right)\left(2\right)=4$

Jadi, nilai dari $a+b-ab$ adalah 4.