Bank Soal Matematika Wajib SMA Peluang Suatu Kejadian

Soal

Pilihan Ganda

Perhatikan gambar berikut!

Seekor semut akan berjalan dari titik A ke titik B dengan ketentuan ia hanya boleh ke atas atau ke kanan. Jika semut tersebut tidak tahu bahwa di titik X terdapat perangkap semut, maka peluang semut berjalan dari titik A ke titik B tanpa melalui titik X adalah ....

A

0

B

112\frac{1}{12}

C

2335\frac{23}{35}

D

112\frac{1}{12}

E

1235\frac{12}{35}

Pembahasan:

Diketahui:

Seekor semut akan berjalan dari titik A ke titik B dengan ketentuan ia hanya boleh ke atas atau ke kanan

Terdapat perangkap semut di titik X

Ditanya:

Peluang semut berjalan dari titik A ke titik B tanpa melalui titik X?

Dijawab:

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama.

Jika A adalah suatu kejadian dan A adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian A adalah

P(A)=n(A)n(S)P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}

dengan

n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A

n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel S

Jika peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Jika peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Peluang suatu kejadian berkisar antara 0 P(A)1.0\ \le P\left(A\right)\le1.

Jika AA dan AcA^c dua kejadian yang saling komplemen, maka

P(Ac)=1P(A)P\left(A^c\right)=1-P\left(A\right)


Untuk menyelsaikan soal ini, digunakan peluang dua kejadian yang saling komplemen.

Misalkan KK adalah kejadian semut berjalan dari titik A ke B melalui X.

Banyaknya anggota K dapat diperoleh menggunakan permutasi.

Jika dilihat dari titik A ke X, terdapat 1 garis satuan ke kanan dan 2 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom. Selanjutnya jika dilihat dari titik X ke titik B, terdapat 3 garis satuan ke kanan dan 1 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom.

Misalkan a adalah ketika semut berjalan ke atas dan k adalah ketika semut berjalan ke kanan. Sehingga total semut akan melewati 7 garis satuan dengan rute yang melalui titik X.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bagi menjadi dua kasus yaitu.

Pertama, banyaknya cara semut berjalan dari titik A ke titik X.

Karena terdapat 1 garis satuan ke kanan dan 2 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan {k,a,a}.\left\{k,a,a\right\}.

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari {k,a,a}\left\{k,a,a\right\} yang merupakan permutasi 3 unsur dengan 2 unsur a yang sama.

Banyaknya susunan adalah 3!2!=3×2!2!=3.\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3.


Kedua, banyaknya cara semut berjalan dari titik X ke titik B.

Karena terdapat 3 garis satuan ke kanan dan 1 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari  {k,k,k,a}\ \left\{k,k,k,a\right\} yang merupakan permutasi 4 unsur dengan 3 unsur k yang sama.

Banyaknya susunan adalah 4!3!=4×3!3!=4\frac{4!}{3!}=\frac{4\times3!}{3!}=4


Menurut aturan perkalian, banyaknya rute dari A ke B dengan melalui titik X yang dapat dipilih semut adalah 3 ×4 = 12.3\ \times4\ =\ 12. Jadi n(K)=12.n\left(K\right)=12.


Ruang sampel pada soal ini adalah cara semut berjalan dari titik A ke titik B.

Banyaknya anggota ruang sampel (n(S)) dapat diperoleh dengan permutasi.

Jika dilihat dari titik A ke B, terdapat 4 garis satuan ke kanan dan 3 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom. Misalkan a adalah ketika semut berjalan ke atas dan k adalah ketika semut berjalan ke kanan. Sehingga total semut akan melewati 7 garis satuan dengan rute yang memenuhi syarat bahwa semut hanya boleh ke kanan atau ke atas.

Karena terdapat 4 garis satuan ke kanan dan 3 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan {k,k,k,k,a,a,a}.\left\{k,k,k,k,a,a,a\right\}.

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari {k,k,k,k,a,a,a}\left\{k,k,k,k,a,a,a\right\} yang merupakan permutasi 7 unsur dengan 4 unsur k yang sama dan 3 unsur a yang sama.

Banyaknya susunan adalah 7!4!3!=7×6×5×4!4!3!=7×5=35.\frac{7!}{4!3!}=\frac{7\times6\times5\times4!}{4!3!}=7\times5=35.

Jadi, n(S) = 35.n\left(S\right)\ =\ 35.


Peluang semut berjalan dari titik A ke titik B melalui titik X adalah

P(K)=n(K)n(S)=1235P\left(K\right)=\frac{n\left(K\right)}{n\left(S\right)}=\frac{12}{35}


Perhatikan bahwa KcK^c adalah kejadian semut berjalan dari titik A ke B tanpa melalui X.

Menurut peluang kejadian yang saling komplemen diperoleh

P(Kc)= 1  P(K) =  11235=2335P\left(K^c\right)=\ 1\ -\ P\left(K\right)\ =\ \ 1-\frac{12}{35}=\frac{23}{35}


Jadi, peluang semut berjalan dari titik A ke titik B tanpa melalui titik X adalah 2335\frac{23}{35}

K13 Kelas XII Matematika Wajib Statistika Peluang Peluang Suatu Kejadian Skor 3
Soal Cerita LOTS
Video
20 Januari 2021
Peluang Suatu Kejadian
Rangkuman
27 April 2021
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal