Bank Soal Matematika SMA Peluang Suatu Kejadian

Diketahui:

Seekor semut akan berjalan dari titik A ke titik B dengan ketentuan ia hanya boleh ke atas atau ke kanan

Terdapat perangkap semut di titik X

Ditanya:

Peluang semut berjalan dari titik A ke titik B tanpa melalui titik X?

Dijawab:

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama.

Jika A adalah suatu kejadian dan A adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian A adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

dengan

n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A

n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel S

Jika peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Jika peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Peluang suatu kejadian berkisar antara $0\ \le P\left(A\right)\le1.$

Jika $A$ dan $A^c$ dua kejadian yang saling komplemen, maka

$P\left(A^c\right)=1-P\left(A\right)$

Untuk menyelsaikan soal ini, digunakan peluang dua kejadian yang saling komplemen.

Misalkan $K$ adalah kejadian semut berjalan dari titik A ke B melalui X.

Banyaknya anggota K dapat diperoleh menggunakan permutasi.

Jika dilihat dari titik A ke X, terdapat 1 garis satuan ke kanan dan 2 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom. Selanjutnya jika dilihat dari titik X ke titik B, terdapat 3 garis satuan ke kanan dan 1 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom.

Misalkan a adalah ketika semut berjalan ke atas dan k adalah ketika semut berjalan ke kanan. Sehingga total semut akan melewati 7 garis satuan dengan rute yang melalui titik X.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bagi menjadi dua kasus yaitu.

Pertama, banyaknya cara semut berjalan dari titik A ke titik X.

Karena terdapat 1 garis satuan ke kanan dan 2 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan $\left\{k,a,a\right\}.$

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari $\left\{k,a,a\right\}$ yang merupakan permutasi 3 unsur dengan 2 unsur a yang sama.

Banyaknya susunan adalah $\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3.$

Kedua, banyaknya cara semut berjalan dari titik X ke titik B.

Karena terdapat 3 garis satuan ke kanan dan 1 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari $\ \left\{k,k,k,a\right\}$ yang merupakan permutasi 4 unsur dengan 3 unsur k yang sama.

Banyaknya susunan adalah $\frac{4!}{3!}=\frac{4\times3!}{3!}=4$

Menurut aturan perkalian, banyaknya rute dari A ke B dengan melalui titik X yang dapat dipilih semut adalah $3\ \times4\ =\ 12.$ Jadi $n\left(K\right)=12.$

Ruang sampel pada soal ini adalah cara semut berjalan dari titik A ke titik B.

Banyaknya anggota ruang sampel (n(S)) dapat diperoleh dengan permutasi.

Jika dilihat dari titik A ke B, terdapat 4 garis satuan ke kanan dan 3 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom. Misalkan a adalah ketika semut berjalan ke atas dan k adalah ketika semut berjalan ke kanan. Sehingga total semut akan melewati 7 garis satuan dengan rute yang memenuhi syarat bahwa semut hanya boleh ke kanan atau ke atas.

Karena terdapat 4 garis satuan ke kanan dan 3 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan $\left\{k,k,k,k,a,a,a\right\}.$

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari $\left\{k,k,k,k,a,a,a\right\}$ yang merupakan permutasi 7 unsur dengan 4 unsur k yang sama dan 3 unsur a yang sama.

Banyaknya susunan adalah $\frac{7!}{4!3!}=\frac{7\times6\times5\times4!}{4!3!}=7\times5=35.$

Jadi, $n\left(S\right)\ =\ 35.$

Peluang semut berjalan dari titik A ke titik B melalui titik X adalah

$P\left(K\right)=\frac{n\left(K\right)}{n\left(S\right)}=\frac{12}{35}$

Perhatikan bahwa $K^c$ adalah kejadian semut berjalan dari titik A ke B tanpa melalui X.

Menurut peluang kejadian yang saling komplemen diperoleh

$P\left(K^c\right)=\ 1\ -\ P\left(K\right)\ =\ \ 1-\frac{12}{35}=\frac{23}{35}$

Jadi, peluang semut berjalan dari titik A ke titik B tanpa melalui titik X adalah $\frac{23}{35}$