Bank Soal Matematika SMA Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Diketahui:

Pertidaksamaan 1: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}\le1$

Pertidaksamaan 2:$x-y\ge-1$

Ditanya:

Bagaimana daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut?

Dijawab:

Peramaan umum elips dengan titik pusat $\left(0,0\right)$ : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, di mana $a:$ setengah dari panjang sumbu mayor, dan $b:$ setengah dari panjang sumbu minor.

Jika $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1$, maka daerah penyelesaian berada di dalam elips.

Jika $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, maka daerah penyelesaian berada pada elips.

Jika $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}>1$, maka daerah penyelesaian berada di luar elips.

Jika pertidaksamaan memiliki tanda hubung $>$ atau $<$, maka elips digambarkan putus-putus.

Jika pertidaksamaan memiliki tanda hubung $\ge$ atau $\le$, maka elips digambarkan bersambung.

=============================================

Elips

Bawa bentuk pertidaksamaannya ke persamaan untuk membuat elipsnya terlebih dahulu.

Bentuk persamaannya adalah $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ dapat diubah ke bentuk $\frac{x^{2\ }}{2^2}+\frac{y^{2\ }}{1^2}=1$

Hasil elips:

Uji titik di luar dan di dalam elips untuk menentukan daerah penyelesaian.

Titik di dalam elips $\left(0,0\right)$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=\frac{0}{4\ }+\frac{0}{1}=0+0=0<1$

Titik di luar elips $\left(3,0\right)$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=\frac{3^2}{4\ }+\frac{0}{1}=\frac{9}{4\ }+\frac{0}{4}=\frac{9}{4}>1$

Maka daerah penyelesaian yang kita ambil adalah yang berada di dalam elips

Garis

Bawa ke bentuk persamaan terlebih dahulu.

Untuk $x=0$

$0-y=-1$

$y=1$

Didapat titik $\left(0,1\right)$

Untuk $y=0$

$x-0=-1$

$x=-1$

Didapat titik $\left(-1,0\right)$

Hasil garis:

Cek titik daerah penyelesian

Titik di bawah garis $\left(0,-1\right)$

$x-y=0-\left(-1\right)=0+1=1>-1$

Titik di atas garis $\left(0,2\right)$

$x-y=0-2=-2<-1$

Maka daerah penyelesaian berada di bawah garis.

Dari perhitungan elips dan garis yang telah dilakukan, maka daerah penyelesaian yang tepat untuk sistem tersebut adalah: